Problema 507

Un hotel dispone de tres lavadoras industriales L_1,\,L_2,\,L_3 para el servicio de lavandería. El 50% de los lavados los realiza L_1, el 30% los hace L_2 y el resto L_3. La lavadora L_1 produce un 5% de lavados defectuosos, L_2 produce un 15% y L_3 un 20%. Se elige al azar un lavado del hotel.

a) Calcule la probabilidad de que no sea defectuoso.
b) Calcule la probabilidad de que el lavado haya sido realizado por L_1, sabiendo que ha sido defectuoso.


Solución:

Sea L_1 el suceso “elegir un lavado con la lavadora L_1“, sea L_2 el suceso “elegir un lavado con la lavadora L_2“, sea L_3 el suceso “elegir un lavado con la lavadora L_3” y sea D el suceso “lavado defectuoso”.

A partir de los datos del enunciado tenemos las siguientes probabilidades:

  • P[L_1]=0.5
  • P[L_2]=0.3
  • P[L_3]=1-0.5-0.3=0.2
  • P[D/L_1]=0.05
  • P[D/L_2]=0.15
  • P[D/L_3]=0.2

Con estos datos se puede construir el siguiente diagrama de árbol:

p507

a) Nos piden la probabilidad total de que un lavado no sea defectuoso P[\overline D]:

P[\overline D]=P[L_1]\cdot P[\overline D/L_1]+P[L_2]\cdot P[\overline D/L_2]+P[L_3]\cdot P[\overline D/L_3]=\\\\=0.5\cdot0.95+0.3\cdot0.85+0.2\cdot0.8=\boxed{0.89}


b) Sabiendo que el lavado ha sido defectuoso, la probabilidad de que haya sido realizado por la lavandería 1 es la probabilidad condicionada P[L_1/D]. Utilizamos el teorema de Bayes:

P[L_1/D]=\dfrac{P[L_1]\cdot P[D/L_1]}{P[D]}

Sabemos que P[D]=1-P[\overline D]=1-0.89=0.11. Por tanto:

P[L_1/D]=\dfrac{0.5\cdot 0.05}{0.11}=\boxed{0.227}

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