Problema 507

Un hotel dispone de tres lavadoras industriales $L_1,\,L_2,\,L_3$ para el servicio de lavandería. El 50% de los lavados los realiza $L_1$ , el 30% los hace $L_2$ y el resto $L_3$ . La lavadora $L_1$ produce un 5% de lavados defectuosos, $L_2$ produce un 15% y $L_3$ un 20%. Se elige al azar un lavado del hotel.

a) Calcule la probabilidad de que no sea defectuoso.
b) Calcule la probabilidad de que el lavado haya sido realizado por $L_1$ , sabiendo que ha sido defectuoso.

Solución:

Sea $L_1$ el suceso «elegir un lavado con la lavadora $L_1$ «, sea $L_2$ el suceso «elegir un lavado con la lavadora $L_2$ «, sea $L_3$ el suceso «elegir un lavado con la lavadora $L_3$ » y sea D el suceso «lavado defectuoso».

A partir de los datos del enunciado tenemos las siguientes probabilidades:

$P[L_1]=0.5$
$P[L_2]=0.3$
$P[L_3]=1-0.5-0.3=0.2$
$P[D/L_1]=0.05$
$P[D/L_2]=0.15$
$P[D/L_3]=0.2$

Con estos datos se puede construir el siguiente diagrama de árbol:

p507

a) Nos piden la probabilidad total de que un lavado no sea defectuoso $P[\overline D]$ :

$P[\overline D]=P[L_1]\cdot P[\overline D/L_1]+P[L_2]\cdot P[\overline D/L_2]+P[L_3]\cdot P[\overline D/L_3]=\\\\=0.5\cdot0.95+0.3\cdot0.85+0.2\cdot0.8=\boxed{0.89}$

b) Sabiendo que el lavado ha sido defectuoso, la probabilidad de que haya sido realizado por la lavandería 1 es la probabilidad condicionada $P[L_1/D]$ . Utilizamos el teorema de Bayes: