Problema 508

La edad de los empleados de una empresa sigue una ley Normal de varianza 64 y media desconocida. Se toma una muestra aleatoria simple de 16 empleados de dicha empresa, obteniéndose las siguientes edades

30, 42, 38, 45, 52, 60, 21, 26, 33, 44, 28, 49, 37, 41, 38, 40

a) Obtenga un intervalo de confianza para estimar la edad media de los empleados, con un nivel de confianza del 97%.
b) Calcule el tamaño mínimo de la muestra que se ha de tomar para estimar la edad media de los empleados, con un error inferior a 2 años y un nivel de confianza del 99%.


Solución:

a) En primer lugar obtenemos la media de la muestra:

\overline x=\dfrac{\sum x_i}N=\dfrac{624}{16}=39

El intervalo de confianza es:

\left(\overline x-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n},\overline x+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)

siendo z_{\alpha/2}=2.17 para un nivel de confianza del 97%, y \sigma=\sqrt{64}=8. Luego el error:

E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}=2.17\cdot\dfrac8{\sqrt{16}}=4.34

y el intervalo de confianza buscado es:

(39-4.34,39+4.34)=(34.66,43.34)


b) Para un nivel de confianza del 99% tenemos que z_{\alpha/2}=2.575.
Dado que el error E ha de ser inferior a dos años, tenemos que

E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}

2=2.575\dfrac8{\sqrt n}

de donde

\sqrt n=\dfrac{2.575\cdot8}2=10.3~;\\\\n=106.09

Para obtener un error inferior a 2, hemos de tomar una muestra de al menos 107 individuos.

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