Problema 509

Se considera la región definida por las siguientes ecuaciones:

$2x-y\geq2\qquad-x+2y\leq2\qquad3x+y\leq15\qquad y\geq0$

a) Represéntala gráficamente y determine sus vértices.
b) Indique razonadamente si el punto (3,3) pertenece a dicha región.
c) ¿En qué puntos de la región anterior la función $F(x,y)=3x-2y$ alcanza los valores máximo y mínimo y cuáles son éstos?

Solución:

p509 a) Escribimos las rectas en forma explícita para respresentarlas más fácilmente:

$\left\{\begin{array}{lcl}2x-y=2&\longrightarrow&y=2x-2\\-x+2y=2&\longrightarrow&y=\frac{2-x}2\\3x+y=15&\longrightarrow&y=15-3x\\y=0&&\end{array}\right.$

Representamos las rectas y la región factible que es aquella que verifica las desigualdades.
Calculamos los vértices resolviendo los sistemas de ecuaciones:

$A=\left\{\begin{array}{l}y=0\\2x-y=2\end{array}\right.\longrightarrow A=(1,0)\\B=\left\{\begin{array}{l}-x+2y=2\\2x-y=2\end{array}\right.\longrightarrow B=(2,2)\\C=\left\{\begin{array}{l}-x+2y=2\\3x+y=15\end{array}\right.\longrightarrow C=(4,3)\\D=\left\{\begin{array}{l}y=0\\3x+y=15\end{array}\right.\longrightarrow D=(5,0)$