Problema 509

Se considera la región definida por las siguientes ecuaciones:

2x-y\geq2\qquad-x+2y\leq2\qquad3x+y\leq15\qquad y\geq0

a) Represéntala gráficamente y determine sus vértices.
b) Indique razonadamente si el punto (3,3) pertenece a dicha región.
c) ¿En qué puntos de la región anterior la función F(x,y)=3x-2y alcanza los valores máximo y mínimo y cuáles son éstos?


Solución:

p509a) Escribimos las rectas en forma explícita para respresentarlas más fácilmente:

\left\{\begin{array}{lcl}2x-y=2&\longrightarrow&y=2x-2\\-x+2y=2&\longrightarrow&y=\frac{2-x}2\\3x+y=15&\longrightarrow&y=15-3x\\y=0&&\end{array}\right.

Representamos las rectas y la región factible que es aquella que verifica las desigualdades.
Calculamos los vértices resolviendo los sistemas de ecuaciones:

A=\left\{\begin{array}{l}y=0\\2x-y=2\end{array}\right.\longrightarrow A=(1,0)\\B=\left\{\begin{array}{l}-x+2y=2\\2x-y=2\end{array}\right.\longrightarrow B=(2,2)\\C=\left\{\begin{array}{l}-x+2y=2\\3x+y=15\end{array}\right.\longrightarrow C=(4,3)\\D=\left\{\begin{array}{l}y=0\\3x+y=15\end{array}\right.\longrightarrow D=(5,0)


b) El punto (3,3) pertenece a la región factible si verifican todas las inecuaciones:

2x-y\geq2\longrightarrow 2\cdot3-3=3\geq2 ✔️
-x+2y\leq2\longrightarrow -3+2\cdot3=3\leq2 ✖️

Por tanto, el punto (3,3) no pertenece a la región factible.


c) Evaluamos la función F(x,y)=3x-2y en cada uno de los vértices:

F(A)=F(1,0)=3\cdot1-2\cdot0=3\\F(B)=F(2,2)=3\cdot2-2\cdot2=2\\F(C)=F(4,3)=3\cdot4-2\cdot3=6\\F(D)=F(5,0)=3\cdot5-2\cdot0=15

A la vista de los resultados, el valor máximo es 15 y se obtiene en el vértice D, y el valor mínimo es 2 y se obtiene en el vértice B.

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