La velocidad que lleva un móvil, en función del tiempo t, viene dada por la siguiente función:
a) Determine a y b para que la función sea continua en los instantes t=1 y t=5.
b) Para a=5 y b=-20, estudie la derivabilidad en los instantes t=1 y t=5. ¿En qué momento el móvil alcanza la velocidad máxima?
Solución:
a) Estudiamos en primer lugar la continuidad de v en t=1:
de donde ha de ser y, por tanto, a=5.
Estudiamos ahora la continuidad de v en t=5:
de donde
b) Para a=5 y b=-20 se tiene que
y su derivada es
Sabemos que v es continua tanto en t=1 como en t=5. Veamos si v es derivable en t=1:
por lo que v no es derivable en t=1 aunque es creciente en dicho punto. Veamos si v es derivable en t=5:
En t=5 la función v es derivable.
Por último, calculamos los puntos críticos de v:
Vamos a caracterizar estos dos puntos críticos utilizando el test de la derivada segunda:
Para t=6, la derivada segunda de v es negativa por lo que v presenta un máximo en ese punto.
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