La velocidad que lleva un móvil, en función del tiempo t, viene dada por la siguiente función:

a) Determine a y b para que la función sea continua en los instantes t=1 y t=5.
b) Para a=5 y b=-20, estudie la derivabilidad en los instantes t=1 y t=5. ¿En qué momento el móvil alcanza la velocidad máxima?

Solución:

a) Estudiamos en primer lugar la continuidad de v en t=1:

de donde ha de ser y, por tanto, a=5.

Estudiamos ahora la continuidad de v en t=5:

de donde

b) Para a=5 y b=-20 se tiene que

y su derivada es

Sabemos que v es continua tanto en t=1 como en t=5. Veamos si v es derivable en t=1:

por lo que v no es derivable en t=1 aunque es creciente en dicho punto. Veamos si v es derivable en t=5:

En t=5 la función v es derivable.

Por último, calculamos los puntos críticos de v:

Vamos a caracterizar estos dos puntos críticos utilizando el test de la derivada segunda:

Para t=6, la derivada segunda de v es negativa por lo que v presenta un máximo en ese punto.

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