Problema 510

La velocidad que lleva un móvil, en función del tiempo t, viene dada por la siguiente función:

v(t)=\left\{\begin{array}{ccc}7t^2&\mbox{si}&0\leq t<1\\2t+a&\mbox{si}&1\leq t\leq5\\-t^2+12t+b&\mbox{si}&5<t\leq10\end{array}\right.

a) Determine a y b para que la función sea continua en los instantes t=1 y t=5.
b) Para a=5 y b=-20, estudie la derivabilidad en los instantes t=1 y t=5. ¿En qué momento el móvil alcanza la velocidad máxima?


Solución:

a) Estudiamos en primer lugar la continuidad de v en t=1:

\displaystyle\bullet~\lim_{t\rightarrow1^+}2t+a=2+a\\\bullet~\lim_{t\rightarrow1^-}7t^2=7\\\bullet~v(1)=2\cdot1+a=2+a

de donde ha de ser 2+a=7 y, por tanto, a=5.

Estudiamos ahora la continuidad de v en t=5:

\displaystyle\bullet~\lim_{t\rightarrow5^+}-t^2+12t+b=35+b\\\bullet~\lim_{t\rightarrow5^-}2t+a=10+5=15\\\bullet~v(5)=2\cdot5+5=15

de donde 35+b=15\rightarrow b=-20


b) Para a=5 y b=-20 se tiene que

v(t)=\left\{\begin{array}{ccc}7t^2&\mbox{si}&0\leq t<1\\2t+5&\mbox{si}&1\leq t\leq5\\-t^2+12t-20&\mbox{si}&5<t\leq10\end{array}\right.

y su derivada es

v'(t)=\left\{\begin{array}{ccc}14t&\mbox{si}&0<t<1\\2&\mbox{si}&1<t<5\\-2t+12&\mbox{si}&5<t<10\end{array}\right.

Sabemos que v es continua tanto en t=1 como en t=5. Veamos si v es derivable en t=1:

\displaystyle\bullet~v'(1^+)=\lim_{t\rightarrow1^+}2=2\\\bullet~v'(1^-)=\lim_{t\rightarrow1^-}14t=14

por lo que v no es derivable en t=1 aunque es creciente en dicho punto. Veamos si v es derivable en t=5:

\displaystyle\bullet~v'(5^+)=\lim_{t\rightarrow5^+}-2t+12=-10+12=2\\\bullet~v'(5^-)=\lim_{t\rightarrow5^-}2=2

En t=5 la función v es derivable.

Por último, calculamos los puntos críticos de v:

v'(t)=0~;\\\\\bullet~14t=0\rightarrow t=0\\\bullet~2=0!!!\\\bullet~-2t+12=0\rightarrow t=6

Vamos a caracterizar estos dos puntos críticos utilizando el test de la derivada segunda:

v''(t)=\left\{\begin{array}{ccc}14&\mbox{si}&0<t<1\\0&\mbox{si}&1<t<5\\-2&\mbox{si}&5<t<10\end{array}\right.

Para t=6, la derivada segunda de v es negativa por lo que v presenta un máximo en ese punto.

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