Problema 512

A la salida de unos grandes almacenes se ha tomado una muestra aleatoria simple de 100 clientes, a los que se les ha preguntado por el gasto que han realizado, obteniéndose una media muestral de 110 euros. Se sabe que el gasto sigue una distribución Normal con desviación típica de 20 euros.

a) ¿Qué distribución de probabilidad sigue la media muestral?
b) ¿Obtenga un intervalo de confianza al 90%, para el gasto medio de todos los clientes que han comprado ese día.
c) Si deseamos que el error cometido, con el mismo nivel de confianza, sea 2 euros, ¿cuál ha de ser el tamaño mínimo de la muestra?


Solución:

a) La distribución normal sigue la media muestral:

N\left(110,\dfrac{20}{\sqrt{100}}\right)=N(110,2)


b) El intervalo de confianza para la media tiene la forma:

(\overline x-E,\overline x+E)

siendo el error E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Para un nivel de confianza del 90%, tenemos z_{\alpha/2}=1.645, luego

E=1.645\cdot\dfrac{20}{\sqrt{100}}=3.29

y el intervalo de confianza es:

(110-3.29,110+3.29)=(106.71,113.29)


c) Queremos que el error E sea 2. Calculamos n:

E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}~;\\\\\sqrt n=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}E=1.645\cdot\dfrac{20}2=16.45~;\\\\n=16.45^2=270.6

por lo que el tamaño de la muestra tiene que ser de al menos 271 clientes.

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