Problema 513

Sean las matrices

A=\begin{pmatrix}6&0\\2&4\end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix}-4\\6\end{pmatrix}\qquad C=\begin{pmatrix}-2&-2\end{pmatrix}

a) Justifique cuáles de las siguientes operaciones se pueden realizar y efectúelas cuando sea posible

B+2CA\qquad A-(BC)^t

b) Resuelve la siguiente ecuación matricial:

\dfrac15(B+AX)=C^t


Solución:

a) Recordamos que para que se puedan multiplicar dos matrices, el número de columnas de la primera ha de ser igual que el número de filas de la segunda. Para poder sumar o restar dos matrices, estas han de tener idénticas dimensiones.

B_{2\times1}+2C_{1\times2}A_{2\times2}

Observamos que se puede multiplicar CA dando como resultado una matriz 1×2, y este resultado no se puede sumar con la matriz B. Luego esta operación no se puede realizar.

Veamos la siguiente operación:

A_{2\times2}-(B_{2\times1}C_{1\times2})^t

En este caso, BC se pueden multiplicar dando como resultado una matriz 2×2, cuya traspuesta se puede restar a A. Calculamos entonces el resultado de esta operación:

A-(BC)^t=\begin{pmatrix}6&0\\2&4\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}-4\\6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2&-2\end{pmatrix}\right)^t=\begin{pmatrix}6&0\\2&4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}8&8\\-12&-12\end{pmatrix}^t=\\\\=\begin{pmatrix}6&0\\2&4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}8&-12\\8&-12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&12\\-6&16\end{pmatrix}


b) En primer lugar, despejamos X de la ecuación matricial:

\dfrac15(B+AX)=C^t~;\\\\B+AX=5C^t~;\\\\AX=5C^t-B~;\\\\X=A^{-1}(5C^t-B)

Calculamos la matriz inversa de A utilizando la fórmula:

A^{-1}=\dfrac1{|A|}(\mbox{Adj}A)^t

|A|=\begin{vmatrix}6&0\\2&4\end{vmatrix}=24

\mbox{Adj}A=\begin{pmatrix}4&-2\\0&6\end{pmatrix}

A^{-1}=\dfrac1{24}\begin{pmatrix}4&0\\-2&6\end{pmatrix}

5C^t-B=5\begin{pmatrix}-2\\-2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-4\\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6\\-16\end{pmatrix}

por lo que

X=\dfrac1{24}\begin{pmatrix}4&0\\-2&6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-6\\-16\end{pmatrix}=\dfrac1{24}\begin{pmatrix}-24\\-84\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-3.5\end{pmatrix}

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