Problema 514

Dada la función

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac{2x+1}{1-2x}&\mbox{si}&x<0\\\\x^2-x-a&\mbox{si}&x\geq0\end{array}\right.

a) Obtenga el valor de a para que la función sea continua en x=0. Para ese valor de a, ¿sería derivable en x=0?
b) Para a=2, estudie su monotonía y extremos relativos.


Solución:

a) Estudiamos la continuidad de f en x=0:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow0^+}x^2-x-a=-a\\\bullet~\lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac{2x+1}{1-2x}=1\\\bullet~f(0)=0^2-0-a=-a

Luego, para que f sea continua en x=0 ha de ser a=-1.
Para estudiar la derivabilidad primero calculamos la función derivada:

f'(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac4{(1-2x)^2}&\mbox{si}&x<0\\\\2x-1&\mbox{si}&x>0\end{array}\right.

Veamos si es derivable en x=0:

\displaystyle\bullet~f'(0^+)=\lim_{x\rightarrow0^+}2x-1=-1\\\bullet~\lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac4{(1-2x)^2}=4

Luego f no es derivable en x=0 para a=-1.


b) La monotonía de f la estudiamos a partir de su función derivada.
Calculamos primero los puntos críticos:

\dfrac4{(1-2x)^2}=0\longrightarrow\nexists x\\\\2x-1=0\longrightarrow x=\dfrac12

Teniendo en cuenta que el dominio de f es todo \mathbb R, construimos la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,0)&(0,\frac12)&(\frac12,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-&+\\\hline \mbox{Monotonia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

Luego, f crece en (-\infty,0)\cup(\frac12,+\infty) y decrece en (0,\frac12).
Además observamos un mínimo en el punto (\frac12,-\frac94).

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