Problema 517

a) Resuelva la ecuación matricial

$\begin{pmatrix}2&3\\1&-5\end{pmatrix}\cdot X=\begin{pmatrix}1&1\\0&-1\end{pmatrix}^2\cdot\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}$

b) Si A es una matriz con tres filas y dos columnas, determine razonadamente la dimensión que deben tener las matrices B, C y D para que se pueden efectuar las siguientes operaciones:

$2A-3B\qquad AA^t-C^2\qquad AD$

Solución:

a) La matriz X tiene dimensiones 2×1, es decir: $X=\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ .

$\begin{pmatrix}1&1\\0&-1\end{pmatrix}^2\cdot\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&-1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}$

Luego

$\begin{pmatrix}2&3\\1&-5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}$

de donde:

$\left\{\begin{array}{l}2a+3b=4\\a-5b=1\end{array}\right.$

Sistema cuya solución es $a=\frac{23}{13},\,b=\frac2{13}$ . Luego $X=\begin{pmatrix}\frac{23}{13}\\\frac2{13}\end{pmatrix}$

b) Sea $A_{3\times2}$ . Recordamos que un escalar por una matriz es otra matriz con la misma dimensión que la matriz original; que solo se pueden sumar matrices con la misma dimensión y que el resultado es otra matriz con la misma dimensión; y que el producto de matrices se puede realizar si el número de columnas de la primera matriz coincide con el número de filas de la segunda, dando como resultado una matriz con el número de filas de la primera y el número de columnas de la segunda.
Por todo lo dicho:

$2A-3B$ tiene que ser $B_{3\times2}$
$AA^t-C^2$ . Para poder hacer C², C ha de ser cuadrada. Por otro lado, $A_{3\times2}A^t_{2\times3}=M_{3\times3}$ , luego tiene que ser $C_{3\times3}$
$A_{3\times2}D_{m\times n}$ . Para poder multiplicar ambas matrices, ha de ser m=2. Luego $D_{2\times n}$ , siendo n cualquier número natural.