Se considera la función

a) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función f.
b) Calcule los puntos de corte de la gráfica de f con los ejes de coordenadas.
c) Calcule las asíntotas de f, en caso de que existan.

Solución:

a) Estudiamos la continuidad en x=3:

luego f es continua en x=3.
Estudiamos la derivabilidad en x=3 calculando en primer lugar la derivada de f:

Por lo que f también es derivable en x=3.

b) Puntos de corte con el eje x (y=0):

• , no válido ya que esta función se define para x<3.
• , no válido el 2 pero sí el x=5 ya que esta función se define para x≥3.

Luego el único punto de corte con el eje x es (5,0).

Punto de corte con el eje y (x=0):

El punto de corte con el eje y es .

c) Para x≥3, la función es polinómica y, por tanto, no tiene ningún tipo de asíntota.
Para x<3, tenemos una función de proporcionalidad inversa que tendría una asíntota vertical en x=4, pero dado que esta función se define para valores x<3, no tiene asíntota vertical. Veamos cuál es su asíntota horizontal:

Por lo que f solo cuenta con una asíntota horizontal, y=1 cuando x→-∞.

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