Problema 518

Se considera la función

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac{x-5}{x-4}&\mbox{si}&x<3\\\\-x^2+7x-10&\mbox{si}&x\geq3\end{array}\right.

a) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función f.
b) Calcule los puntos de corte de la gráfica de f con los ejes de coordenadas.
c) Calcule las asíntotas de f, en caso de que existan.


Solución:

a) Estudiamos la continuidad en x=3:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow3^+}-x^2+7x-10=2\\\bullet~\lim_{x\rightarrow3^-}\dfrac{x-5}{x-4}=2\\f(3)=-3^2+7\cdot3-10=2

luego f es continua en x=3.
Estudiamos la derivabilidad en x=3 calculando en primer lugar la derivada de f:

f'(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac1{(x-4)^2}&\mbox{si}&x<3\\\\-2x+7&\mbox{si}&x>3\end{array}\right.

\displaystyle\bullet~f'(3^+)=\lim_{x\rightarrow3^+}-2x+7=1\\\bullet~f'(3^-)=\lim_{x\rightarrow3^-}\dfrac1{(x-4)^2}=1

Por lo que f también es derivable en x=3.


b) Puntos de corte con el eje x (y=0):

  • 0=\dfrac{x-5}{x-4}\rightarrow x-5=0\rightarrow x=5, no válido ya que esta función se define para x<3.
  • 0=-x^2+7x-10\rightarrow x=2,\,x=5, no válido el 2 pero sí el x=5 ya que esta función se define para x≥3.

Luego el único punto de corte con el eje x es (5,0).

Punto de corte con el eje y (x=0):

  • y=\dfrac{0-5}{0-4}=\dfrac54

El punto de corte con el eje y es (0,\frac54).


c) Para x≥3, la función es polinómica y, por tanto, no tiene ningún tipo de asíntota.
Para x<3, tenemos una función de proporcionalidad inversa que tendría una asíntota vertical en x=4, pero dado que esta función se define para valores x<3, no tiene asíntota vertical. Veamos cuál es su asíntota horizontal:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{x-5}{x-4}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{-x-5}{-x-4}=\dfrac{\infty}{\infty}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{-x}{-x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}1=1

Por lo que f solo cuenta con una asíntota horizontal, y=1 cuando x→-∞.

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