Problema 519

Se ha realizado un referéndum en el que se ha convocado a la ciudadanía a expresar con “SÍ” o con “NO” su opinión sobre cierta cuestión. En una determinada mesa electoral hay tres urnas que contienen las siguientes papeletas: la urna A tiene 200 papeletas con “SÍ” y 300 papeletas con “NO”, la urna B, 500 “SÍ” y 400 “NO” y la urna C contiene 200 “SÍ” y 100 “NO”.
Se elige una urna al azar y de ella se extrae aleatoriamente una papeleta.

a) Calcule la probabilidad de que sea un “SÍ”.
b) Si la papeleta extraída es “NO”, calcule la probabilidad de que haya sido extraída de la urna A.


Solución:

Hacemos un diagrama de árbol con los datos aportados.p519

a) La probabilidad de que salga sí es:

P[Si]=P[A]\cdot P[Si/A]+P[B]\cdot P[Si/B]+P[C]\cdot P[Si/C]=\\\\=\dfrac13\cdot\dfrac{200}{500}+\dfrac13\cdot\dfrac{500}{900}+\dfrac13\cdot\dfrac{200}{300}=\dfrac{73}{135}\approx0.541


b) Utilizamos el teorema de Bayes para calcular esta probabilidad condicionada:

P[A/No]=\dfrac{P[No/A]\cdot P[A]}{P[No]}

siendo: P[No]=1-P[Si]=1-\dfrac{73}{135}=\dfrac{62}{135}

P[A/No]=\dfrac{\frac{300}{500}\cdot\frac13}{\frac{62}{135}}=\dfrac{27}{62}\approx0.4355

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