Problema 520

La calificación que obtiene el alumnado en una determinada asignatura sigue una distribución normal de media μ y desviación típica 3 puntos.

a) Se toma una muestra aleatoria simple de 100 alumnos, resultando una calificación media de 5.7 puntos. Calcule un intervalo de confianza para estimar μ a un nivel de confianza del 95%.
b) Determine el tamaño mínimo que debe tener una muestra aleatoria para poder estimar μ con un error máximo de 0.5 puntos y un nivel de confianza del 99%.


Solución:

a) El intervalo de confianza para la media tiene la forma:

(\overline x-E,\overline x+E)

siendo el error E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n}, σ=3, n=100 y \overline x=5.7
Para un nivel confianza del 95% tenemos que z_{\alpha/2}=1.96, luego

E=1.96\cdot\dfrac3{\sqrt{100}}=0.588

y el intervalo de confianza es:

(5.7-0.588,5.7+0.588)=(5.112,6.288)


b) Para determinar el tamaño mínimo de la muestra, despejamos n de la fórmula del error:

E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\\\\\sqrt n=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}E\\\\n=\left(z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}E\right)^2

Siendo E=0.5 y, para un nivel de confianza del 99%, z_{\alpha/2}=2.575, tenemos:

n=\left(2.575\cdot\dfrac3{0.5}\right)^2=238.7

Es decir, tenemos que tomar una muestra de al menos 239 individuos.

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