Problema 521

Una fábrica de palas de pádel produce dos modelos A y B con los que obtienen un beneficio por cada pala de 30 y 20 euros respectivamente. Para la elaboración de una pala del modelo A se necesitan 90 g de fibra de carbono y 100 g de goma EVA, mientras que para una pala del modelo B son necesarios 100 g de fibra de carbono y 50 g de goma EVA. La fábrica dispone diariamente de 7.5 kg de fibra de carbono y de 6.5 kg de goma EVA y quiere producir como máximo 60 unidades diarias del modelo A. Calcule cuántas palas de cada modelo tiene que fabricar para que el beneficio sea máximo y determine su importe.
¿Sería posible una producción diaria de 49 palas del modelo A y 32 palas del modelo B?


Solución:

Es un problema de programación lineal. Con los datos del enunciado construimos la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline &\text{Modelo A}&\text{Modelo B}\\\hline\mbox{Fibra de carbono}&90&100\\\hline \mbox{Goma EVA}&100&50\\\hline\end{array}

Sea x el número de palas del modelo A fabricadas e y el número de palas del modelo B.
La fábrica dispone diariamente de 7.5 kg de fibra de carbono, luego

90x+100y\leq7500

y dispone diariamente de 6.5 kg de goma EVA,

100x+50y\leq6500

ambas inecuaciones están medidas en gramos.
Además, tenemos las restricciones naturales x\geq0 e y\geq0.

Escribimos las restricciones agrupadas, simplificadas y en forma explícita para una fácil representación:

\left\{\begin{array}{l}9x+10y=750\rightarrow y=\dfrac{750-9x}{10}\\\\10x+5y=650\rightarrow y=130-2x\\\\x=0\\y=0\end{array}\right.

p521

La región factible en gris es aquella que verifica las desigualdades.
Calculamos los vértices de la región factible resolviendo los siguientes sistemas:

A=\left\{\begin{array}{l}x=0\\y=0\end{array}\right.\rightarrow A=(0,0)\\B=\left\{\begin{array}{l}x=0\\9x+10y=750\end{array}\right.\rightarrow B=(0,75)\\C=\left\{\begin{array}{l}10x+5y=650\\9x+10y=750\end{array}\right.\rightarrow C=(50,30)\\D=\left\{\begin{array}{l}10x+5y=650\\y=0\end{array}\right.\rightarrow D=(65,0)

Tenemos que calcular cual es la producción que maximiza los beneficios. Los beneficios son: B(x,y)=30x+20y
Evaluamos el beneficio en cada vértice:

B(A)=B(0,0)=30\cdot0+20\cdot0=0\\B(B)=B(0,75)=1500\\B(C)=B(50,30)=2100\\B(D)=B(65,0)=1950

Luego, el máximo beneficio, 2100€, se obtiene produciendo 50 palas del modelo A y 30 palas del modelo B.

¿Sería posible una producción diaria de 49 palas del modelo A y 32 palas del modelo B?

Sería posible si esta producción está dentro de las restricciones. Siendo x=49, y=32:

90x+100y\leq7500~;\\\\90\cdot49+100\cdot32=7610\leq7500

Como este resultado es falso, esa producción no se puede dar.

Más problemas de programación lineal.

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