Problema 522

Análisis CCSS, Estudio de funciones CCSS, Selectividad Mat CCSS,

a) Calcule la derivada de las funciones

f(x)=e^{5x}(x^2-5)^3\qquad g(x)=\dfrac{(x^3+1)^2}{\ln(x^2+2)}

b) Obtenga la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función h(x)=\dfrac{x+10}{x+5} en el punto de abscisa x=0.

Solución:

a) f(x)=e^{5x}(x^2-5)^3

f'(x)=e^{5x}\cdot5\cdot(x^2-5)^3+e^{5x}\cdot3\cdot(x^2-5)^2(2x)=\\=e^{5x}(x^2-5)^2\Big(5(x^2-5)+6x\Big)=e^{5x}(x^2-5)^2(5x^2+6x-25)

g(x)=\dfrac{(x^3+1)^2}{\ln(x^2+2)}

g'(x)=\dfrac{2(x^3+1)(3x^2)\ln(x^2+2)-(x^3+1)^2\cdot\frac{2x}{x^2+2}}{(\ln(x^2+2)^2}=\\=\dfrac{(x^2+2)(x^3+1)(6x^2)\ln(x^2+2)-(x^3+1)^2\cdot(2x)}{(x^2+2)(\ln(x^2+2)^2}=\\=\dfrac{(x^3+1)\Big((x^2+2)(6x^2)\ln(x^2+2)-(x^3+1)\cdot(2x)\Big)}{(x^2+2)(\ln(x^2+2)^2}=\\=\dfrac{2x(x^3+1)\Big((x^2+2)(3x)\ln(x^2+2)-(x^3+1)\Big)}{(x^2+2)(\ln(x^2+2)^2}

b) La ecuación de la recta tangente a h en el punto de abscisa x=x_0 es:

\boxed{y-h(x_0)=h'(x_0)(x-x_0)}

En nuestro caso, x_0=0,\,h(0)=2, y

h'(x)=\dfrac{x+5-(x+10)}{(x+5)^2}=\dfrac{-5}{(x+5)^2}

de donde h'(0)=\dfrac{-5}{25}=\dfrac{-1}5
La ecuación de la recta tangente es:

y-2=\dfrac{-1}5(x-0)~;\\\\y=\dfrac{-x}5+2

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