Problema 524

Una cadena de supermercados desea estimar la proporción de clientes que adquiere un determinado producto. Para ello ha tomado una muestra aleatoria simple de 1000 clientes y ha observado que 300 compraban ese producto.

a) Halle, con un nivel de confianza del 95%, un intervalo de confianza para estimar la proporción de clientes del supermercado que compra ese producto.
b) Si en otra muestra la proporción de clientes que compran ese producto es de 0.25 y el error cometido en la estimación ha sido inferior a 0.03, con un nivel de confianza del 92.5%, calcule el tamaño mínimo de la muestra.


Solución:

a) El intervalo de confianza para estimar la proporción tiene la forma:

(p-E,p+E)

siendo el error E=z_{\alpha/2}\cdot\sqrt{\dfrac{p(1-p)}n}, p=\frac{300}{1000}=0.3n=1000 y z_{\alpha/2}=1.96 para un nivel de confianza del 95%.
Calculamos el error:

E=1.96\cdot\sqrt{\dfrac{0.3(1-0.3)}{1000}}=0.028

y el intervalo de confianza:

(0.3-0.028,0.3+0.028)=(0.272,0.328)


b) Tenemos que p=0.25 y E=0.03, y para un nivel de confianza del 92.5% se tiene z_{\alpha/2}=1.78. Calculamos el tamaño mínimo de la muestra despejando n en la fórmula del error:

E=z_{\alpha/2}\cdot\sqrt{\dfrac{p(1-p)}n}~;\\\\E^2=z_{\alpha/2}^2\cdot\dfrac{p(1-p)}n~;\\\\n=z_{\alpha/2}^2\cdot\dfrac{p(1-p)}E^2=1.78^2\cdot\dfrac{0.25(1-0.25)}{0.03^2}=660.08

Por tanto, la muestra ha de ser de al menos 661 clientes.

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