Problema 525

La capacidad máxima de trabajo de un taller que se dedica a la confección de pañuelos y corbatas es de 60 horas semanales. Cada pañuelo que confecciona le supone 2 horas de trabajo y le reporta un beneficio de 4 euros. En el caso de las corbatas son 3 horas y 6 euros respectivamente por unidad. Contrae el compromiso de que el número de corbatas confeccionadas más el doble del número de pañuelos debe ser, como mínimo, 28.
Con estas condiciones, ¿cuántas unidades de cada tipo de prenda debe confeccionar para obtener un beneficio económico máximo?


Solución:

Sea x el número de pañuelos e y el número de corbatas que se deben confeccionar.
Se dispone de un total de 60 horas de trabajo siendo 2 y 3 el número de horas necesarias para confeccionar un pañuelo y una corbata respectivamente:

2x+3y\leq60

El número número de corbatas más el doble del número de pañuelos ha de ser al menos 28:

2x+y\geq28

Junto con las restricciones naturales, x\geq0,\,y\geq0 tenemos todas las restricciones del problema.
Escribimos las rectas dadas por las restricciones en forma explícita y las representamos:

p525\left\{\begin{array}{l}2x+3y=60\rightarrow y=\dfrac{60-2x}3\\2x+y=28\rightarrow y=28-2x\\x=0\\y=0\end{array}\right.

La región factible sombreada es que la verifica todas las restricciones.
Calculamos los vértices de la región factible resolviendo los siguientes sistemas:

A=\left\{\begin{array}{l}y=0\\2x+y=28\end{array}\right.\rightarrow A=(14,0)\\B=\left\{\begin{array}{l}2x+3y=60\\2x+y=28\end{array}\right.\rightarrow B=(6,16)\\C=\left\{\begin{array}{l}2x+3y=60\\y=0\end{array}\right.\rightarrow C=(30,0)

Queremos maximizar los beneficios. La función beneficio es: f(x,y)=4x+6y
Para obtener el máximo evaluamos la función beneficio en cada uno de los vértices:

f(A)=f(14,0)=4\cdot14+6\cdot0=56\\f(B)=(6,16)=120\\f(C)=f(30,0)=120

Luego, cualquier combinación (x,y) de la recta 2x+3y=60 con x e y enteros y comprendidos entre B y C maximizan los beneficios, siendo estos de 120€.

(6,16), (9,14), (12,12), (15,10), (18,8), (21,6), (24,4), (27,2) y (30,0).

Más problemas de programación lineal.

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