Problema 526

a) Calcule la derivada de las funciones

f(x)=x\ln(x)\qquad g(x)=\dfrac{e^{3x}}{x^4+1}

b) Obtenga la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función h(x)=x^2+6x+5, en el punto de abscisa x=-2. Represente gráficamente la función h y la recta tangente hallada.


Solución:

a) f(x)=x\ln(x)

f'(x)=\ln(x)+x\cdot\dfrac1x=\ln(x)+1

g(x)=\dfrac{e^{3x}}{x^4+1}

g'(x)=\dfrac{e^{3x}\cdot3\cdot(x^4+1)-e^{3x}(4x^3)}{(x^4+1)^2}=\dfrac{e^{3x}(3x^4-4x^3+3)}{(x^4+1)^2}


b) La ecuación de la recta tangente a una función h en el punto de abscisa x=x_0 es:

y-h(x_0)=h'(x_0)(x-x_0)

En nuestro caso x_0=-2 por lo que h(-2)=4-12+5=-3 y:

h'(x)=2x+6\rightarrow h'(-2)=-4+6=2

Luego, la recta tangente buscada es:

y-(-3)=2(x-(-2))~;\\\\y=2x+4-3~;\\\\y=2x+1

Ahora nos piden representar la función h y la recta anterior.
La función h es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola convexa que tiene vértice x_v=\frac{-b}{2a}=\frac{-6}{2}=-3, es decir, en el punto (-3,-4); corta al eje y en el punto (0,5) y pasa por el punto (-2,-3). También corta al eje x en los puntos (-5,0) y (-1,0).
Por otra parte, la recta tangente pasa por los puntos (-2,-3) y (0,1). Estos datos son suficientes para representar ambas funciones.
El esbozo de la gráfica es semejante a la siguiente gráfica:

p526

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