Problema 528

El peso de las ciruelas de una determinada variedad sigue una distribución Normal con media desconocida y desviación típica 3 gramos. Se eligen al azar 25 ciruelas de esa variedad y se pesan, resultando un peso medio de 60 gramos.

a) Calcule un intervalo al 95% de confianza para estimar el peso medio de las ciruelas de esa variedad.
b) Calcule el tamaño mínimo de la muestra que se ha de tomar, para que al estimar el peso medio de esa variedad de ciruelas con un nivel de confianza del 99%, el error cometido sea inferior a 1 gramo.


Solución:

a) El intervalo de confianza para la media tiene la forma

(\overline x-E,\overline x+E)

siendo el error E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n}, σ=3, n=25, \overline x=60, y para un nivel de confianza del 95% es z_{\alpha/2}=1.96. Luego el error es:

E=1.96\cdot\dfrac3{\sqrt{25}}=1.176

y el intervalo de confianza es:

(58.824,61.176)


b) Sabemos que σ=3, E=1, y que para un nivel de confianza del 99% tenemos que z_{\alpha/2}=2.575.
Despejamos n de la fórmula del error:

E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n}~;\\\\\sqrt n=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}E~;\\\\n=\left(z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}E\right)^2=7.725^2=59.6

Luego, el tamaño mínimo de la muestra ha de tener 60 ciruelas.

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