Problema 529

Se consideran las matrices

A=\begin{pmatrix}-1&2\\-3&4\end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix}-1&2&1\\3&0&2\end{pmatrix}\qquad C=\begin{pmatrix}3&0&1\\2&-1&-1\end{pmatrix}

a) Razone qué dimensiones deben tener las matrices P y Q para que los productos (APB^t) y (QAC) den como resultado una matriz cuadrada.
b) Resuelva la ecuación matricial AX-2BC^t=A^2


Solución:

a) Dado que la matriz A es 2×2, la matriz B es de dimensiones 2×3 y la matriz C es 2×3, entonces:

A_{2\times2}P_{m\times n}B^t_{3\times2}

y la matriz P ha de tener dimensiones 2×3.

Por otra parte, se da la operación

Q_{m\times n}A_{2\times2}C_{2\times3}

por lo que la matriz Q ha de tener 2 columnas, es decir, que tiene dimensiones m×2.


b) En primer lugar despejamos la matriz X de la ecuación:

AX-2BC^t=A^2~;\\\\AX=A^2+2BC^t~;\\\\X=A^{-1}(A^2+2BC^t)=A^{-1}AA+2A^{-1}BC^t=A+2A^{-1}BC^t

Podemos calcular ya la matriz X. Calculamos en primer lugar la matriz inversa de A utilizando la fórmula:

A^{-1}=\dfrac1{|A|}(\text{Adj}A)^t

A=\begin{pmatrix}-1&2\\-3&4\end{pmatrix}

|A|=\begin{vmatrix}-1&2\\-3&4\end{vmatrix}=-4+6=2

\text{Adj}A=\begin{pmatrix}4&3\\-2&-1\end{pmatrix}

A^{-1}=\dfrac12\cdot\begin{pmatrix}4&-2\\3&-1\end{pmatrix}

BC^t=\begin{pmatrix}-1&2&1\\3&0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&2\\0&-1\\1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&-5\\11&4\end{pmatrix}

2A^{-1}BC^t=2\cdot\dfrac12\cdot\begin{pmatrix}4&-2\\3&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2&-5\\11&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-30&-28\\-17&-19\end{pmatrix}

y por último:

X=A+2A^{-1}BC^t=\begin{pmatrix}-1&2\\-3&4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-30&-28\\-17&-19\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-31&-26\\-20&-15\end{pmatrix}

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