Problema 530

Se considera la función f(x)=\dfrac{ax}{bx+1}, con a y b números reales.

a) Calcule los valores de a y b, sabiendo que f(-1)=1 y que en el punto de abscisa x=0 la recta tangente a la gráfica de f es paralela a la recta y=2x+1
b) Para a=b=1, halle la ecuación de sus asíntotas.


Solución:

a) Como f(-1)=1 entonces

f(-1)=\dfrac{-a}{-b+1}=1

de donde -a=-b+1\rightarrow-a+b=1.
Por otra parte, al ser la recta tangente de f paralela a la recta y=2x+1, tienen la misma pendiente m_{rt}=2.
Como la pendiente de la recta tangente a una función f es igual al valor de la derivada de f en el punto de tangencia x=x_0, es decir \boxed{m_{rt}=f'(x_0)}, entonces, en nuestro caso que x_0=0 tenemos 2=f'(0)

f'(x)=\dfrac{a(bx+1)-ax\cdot b}{(bx+1)^2}=\dfrac{abx+a-abx}{(bx+1)^2}=\dfrac a{(bx+1)^2}\\\\f'(0)=\dfrac a{(b\cdot0+1)^2}=a=2

Con las dos ecuaciones formamos un sistema:

\left\{\begin{array}{l}-a+b=1\\a=2\end{array}\right.

sistema cuya solución es a=2, b=3.


b) Para a=b=1, se tiene la función f(x)=\dfrac{x}{x+1} cuyo dominio es \mathbb R-\{-1\}

  • Asíntota vertical:
    \displaystyle\bullet\lim_{x\rightarrow-1^+}\dfrac{x}{x+1}=\dfrac{-1}{0^+}=-\infty\\\bullet\lim_{x\rightarrow-1^-}\dfrac{x}{x+1}=\dfrac{-1}{0^-}=+\infty
    Luego, tiene asíntota vertical de ecuación x=-1.
  • Asíntota horizontal:
    \displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x}{x+1}=\dfrac{\infty}{\infty}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{\frac xx}{\frac xx+\frac1x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{1}{1+\frac1x}=1
    Luego, tiene asíntota horizontal de ecuación y=1.
  • No tiene asíntota oblicua por tener asíntota horizontal.

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