Problema 531

Sean A, B, C, D, E y F sucesos de un experimento aleatorio.

a) Se sabe que $P[A]=0.5,\,P[A\cup B]=0.7\mbox{ y }P[A\cap B]=0.4$ . Halle la probabilidad de que ocurra B.
b) Se sabe que $P[C]=0.4,\,P[D]=0.3\mbox{ y }P[C\cup D]=0.5$ . Halle la probabilidad de que ocurra C sabiendo que no ocurre D.
c) Se sabe que los sucesos E y F son independientes, que $P[E]=0.6$ y que $P[F]=0.8$ . Calcule la probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos sucesos.

Solución:

a) Para calcular la probabilidad de B utilizamos la fórmula:

$\boxed{P[A\cup B]=P[A]+P[B]-P[A\cap B]}$

de donde la probabilidad de B es:

$P[B]=P[A\cup B]+P[A\cap B]-P[A]=0.7+0.4-0.5=0.6$

b) Nos piden la probabilidad condicionada $P[C/\overline D]$ .
Sabiendo que

$\bullet~P[C/\overline D]=\dfrac{P[C\cap\overline D]}{P[\overline D]}\\\bullet~P[\overline D]=1-P[D]\\\bullet~P[C\cap\overline D]=P[C]-P[C\cap D]\\\bullet~P[C\cap D]=P[C]+P[D]-P[C\cup D]$

tenemos que

$\bullet~P[C\cap D]=0.4+0.3-0.5=0.2\\\bullet~P[C\cap\overline D]=0.4-0.2=0.2\\\bullet~P[\overline D]=1-0.3=0.7$

y por último

$P[C/\overline D]=\dfrac{0.2}{0.7}=0.2857$

c) Nos piden la probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos sucesos, es decir $P[\overline{E\cup F}]$ .
Nos dicen que E y F son sucesos independientes luego $P[E\cap F]=P[E]\cdot P[F]$ .
Como