Problema 531

Sean A, B, C, D, E y F sucesos de un experimento aleatorio.

a) Se sabe que P[A]=0.5,\,P[A\cup B]=0.7\mbox{ y }P[A\cap B]=0.4. Halle la probabilidad de que ocurra B.
b) Se  sabe que P[C]=0.4,\,P[D]=0.3\mbox{ y }P[C\cup D]=0.5. Halle la probabilidad de que ocurra C sabiendo que no ocurre D.
c) Se sabe que los sucesos E y F son independientes, que P[E]=0.6 y que P[F]=0.8. Calcule la probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos sucesos.


Solución:

a) Para calcular la probabilidad de B utilizamos la fórmula:

\boxed{P[A\cup B]=P[A]+P[B]-P[A\cap B]}

de donde la probabilidad de B es:

P[B]=P[A\cup B]+P[A\cap B]-P[A]=0.7+0.4-0.5=0.6


b) Nos piden la probabilidad condicionada P[C/\overline D].
Sabiendo que

\bullet~P[C/\overline D]=\dfrac{P[C\cap\overline D]}{P[\overline D]}\\\bullet~P[\overline D]=1-P[D]\\\bullet~P[C\cap\overline D]=P[C]-P[C\cap D]\\\bullet~P[C\cap D]=P[C]+P[D]-P[C\cup D]

tenemos que

\bullet~P[C\cap D]=0.4+0.3-0.5=0.2\\\bullet~P[C\cap\overline D]=0.4-0.2=0.2\\\bullet~P[\overline D]=1-0.3=0.7

y por último

P[C/\overline D]=\dfrac{0.2}{0.7}=0.2857


c) Nos piden la probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos sucesos, es decir P[\overline{E\cup F}].
Nos dicen que E y F son sucesos independientes luego P[E\cap F]=P[E]\cdot P[F].
Como

P[\overline{E\cup F}]=1-P[E\cup F]

y

P[E\cup F]=P[E]+P[F]-P[E\cap F]=\\\\=P[E]+P[F]-P[E]\cdot P[F]=0.6+0.8-0.6\cdot0.8=0.92

entonces

P[\overline{E\cup F}]=1-0.92=0.08

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