Problema 532

Se desea estimar el porcentaje de jóvenes que utilizan una determinada red social. Para ello se escoge una muestra aleatoria simple de 500 jóvenes y de ellos 410 afirman utilizarla.

a) Calcule el intervalo de confianza para la proporción de jóvenes que usa esa red social con un nivel de confianza del 95%.
b) Manteniendo la proporción muestral, determine el tamaño mínimo de la muestra necesario para que, con un nivel de confianza del 97%, el error máximo que se cometa al estimar la proporción de esa población sea inferior a 0.04.


Solución:

a) El intervalo de confianza para estimar la proporción tiene la forma:

(p-E,p+E)

donde p es la proporción de jóvenes que utilizan la red social y vale: p=\frac{410}{500}=0.82.
El error es E=z_{\alpha/2}\cdot\sqrt{\dfrac{p(1-p)}n}, siendo n=500, y para un nivel de confianza del 95% tenemos que z_{\alpha/2}=1.96, luego

E=1.96\cdot\sqrt{\dfrac{0.82(1-0.82)}{500}}=0.0337

y el intervalo de confianza es:

(0.82-0.0337,0.82+0.0337)=(0.786,0.854)


b) De la fórmula del error despejamos n:

E=z_{\alpha/2}\cdot\sqrt{\dfrac{p(1-p)}n}~;\text{ elevamos al cuadrado}\\\\E^2=z_{\alpha/2}^2\cdot\dfrac{p(1-p)}n~;\\\\n=z_{\alpha/2}^2\cdot\dfrac{p(1-p)}{E^2}

Tenemos que el error E=0.04, y un nivel de confianza del 97% por lo que z_{\alpha/2}=2.17, luego

n=2.17^2\cdot\dfrac{0.82(1-0.82)}{0.04^2}=434.4

luego el tamaño mínimo de la muestra ha de ser de al menos 435 jóvenes.

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