Problema 533

Una joyería elabora dos tipos de collares a partir de perlas blancas, grises y negras. Para un collar de tipo A hacen falta 20 perlas blancas, 20 grises y 30 negras, mientras que para un collar del tipo B, 10 perlas blancas, 20 grises y 60 negras. Se dispone de un máximo de 900 perlas blancas y 1400 grises, mientras que es necesario que se utilicen al menos 1800 perlas negras.
Sabiendo que cada collar del tipo A le supone a la joyería un beneficio de 600 euros y cada collar del tipo B, 500 euros, calcule cuál debe ser la producción para obtener el máximo beneficio, así como a cuánto asciende el mismo. ¿Es posible fabricar 40 collares del tipo A y 20 del tipo B?


Solución:

Recogemos los datos aportados en la siguiente tabla:

p533

Sea x e y el número de collares de tipo A y B respectivamente que hay que producir.
Se dispone de un máximo de 900 perlas blancas:

20x+10y\leq900

Se dispone de un máximo de 1400 perlas grises:

20x+20y\leq1400

Se han de gastar al menos 1800 perlas negras:

30x+60y\geq1800

Junto con las restricciones naturales x\geq0\text{ e }y\geq0 tenemos todas las restricciones del problema.
Estas restricciones nos dan lugar a una serie de ecuaciones que simplificaremos y escribiremos en forma explícita para representar las rectas:

\left\{\begin{array}{l}20x+10y=900\\20x+20y=1400\\30x+60y=1800\\x=0\\y=0\end{array}\right.\rightarrow\left\{\begin{array}{l}2x+y=90\rightarrow y=90-2x\\x+y=70\rightarrow y=70-x\\x+2y=60\rightarrow y=\dfrac{60-x}2\\x=0\\y=0\end{array}\right.

p533b

La región sombreada es la región factible. Calculamos los vértices de la región factible resolviendo los sistemas:

A=\left\{\begin{array}{l}x=0\\30x+60y=1800\end{array}\right.\rightarrow A=(0,30)\\B=\left\{\begin{array}{l}x=0\\20x+20y=1400\end{array}\right.\rightarrow B=(0,70)\\C=\left\{\begin{array}{l}20x+10y=900\\20x+20y=1400\end{array}\right.\rightarrow C=(20,50)\\D=\left\{\begin{array}{l}20x+10y=900\\30x+60y=1800\end{array}\right.\rightarrow D=(40,10)

La función objetivo es el beneficio que en nuestro caso es: B(x,y)=600x+500y. Veamos en cuál de los vértices alcanza su valor máximo:

B(A)=B(0,30)=600\cdot0+500\cdot30=15000\\B(B)=B(0,70)=35000\\B(C)=B(20,50)=37000\\B(D)=B(40,10)=29000

Luego, para obtener el máximo beneficio la producción ha de ser 20 collares del tipo A y 50 collares del tipo B.

Por otra parte, nos preguntan si se puede producir 40 collares del tipo A y 20 collares del tipo B, y la respuesta es que no ya que no se cumple la primera de las restricciones: 20x+10y\leq900

20\cdot40+10\cdot20=1000

Más problemas de programación lineal.

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s