Problema 534

Los costes de producción de una empresa, en miles de euros, dependen de la cantidad de producto fabricada x, medida en toneladas, según la función f(x)=30-9x+6x^2-x^3. La capacidad máxima de producción es de 2 toneladas.

a) Obtenga los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función de costes de la empresa.
b) Determine la cantidad que la empresa debe producir para minimizar los costes. ¿Cuál sería dicho coste mínimo?
c) ¿Con qué producción la empresa tiene unos costes de producción máximos?


Solución:

a) Estudiamos la monotonía de la función f cuyo, para ello comenzamos calculando sus puntos críticos:

f'(x)=-9+12x-3x^2=0

Las soluciones de esta ecuación son las abscisas de los puntos críticos: x=1, x=3, pero teniendo en cuenta que la capacidad máxima de producción es de 2 toneladas y que x ha de ser mayor que 0, así queda la tabla de monotonía de f:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(0,1)&(1,2)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&-&+\\\hline \mbox{Monotonia }f(x)&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

  • f crece en el intervalo (1,2)
  • f decrece en el intervalo (0,1)

b) Según la tabla de monotonía del apartado anterior, en x=1 f presenta un mínimo, luego para que la empresa minimice los costes ha de producir 1 tonelada.
Produciendo una tonelada el coste sería de:

f(1)=30-9\cdot1+6\cdot1^2-1^3=26

Es decir, el coste sería de 26000 € para una producción de 1 tonelada.


c) Los candidatos a ser máximos serían los valores extremos del dominio, es decir, x=0 y x=2. Evaluamos la función coste para estos valores de x:

  • f(0)=30
  • f(2)=28

Luego, el coste de producción es máximo si no se produce nada.

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