Problema 535

En un polideportivo municipal hay inscritos 520 usuarios de los que 220 son niños, 208 son adultos menores de 60 años y el resto adultos mayores de 60 años. De los inscritos, 1/5 de los niños, el 75% de los adultos menores de 60 años y 23 adultos mayores de 60 años utilizan las duchas normalmente. Se elige un usuario al azar.

a) Calcule la probabilidad de que se duche en las instalaciones del polideportivo.
b) Calcule la probabilidad de que sea adulto menor de 60 años y utilice las duchas.
c) Sabiendo que utiliza las duchas, halle la probabilidad de que sea un niño.


Solución:

A partir de los datos aportados en el enunciado construimos el siguiente diagrama de árbol:

p535

donde N es el suceso “ser niño”, A es el suceso “ser adulto menor de 60 años”, M es el suceso “ser mayor de 60 años” y D es el suceso “utilizar las duchas de las instalaciones normalmente”.

a) La probabilidad de que un usuario elegido al azar utilice las duchas de la instalación es:

P[D]=P[N]\cdot P[D/N]+P[A]\cdot P[D/A]+P[M]\cdot P[D/M]=\\\\=\dfrac{220}{520}\cdot\dfrac15+\dfrac{208}{520}\cdot\dfrac{75}{100}+\dfrac{92}{520}\cdot\dfrac{23}{92}=\dfrac{223}{520}\approx0.4288


b) Probabilidad de ser adulto menor de 60 años y utilizar las duchas P[A\cap D].
Este resultado podríamos obtenerlo de dos formas:

\bullet~P[A\cap D]=P[D]\cdot P[A/D]\\\bullet~P[A\cap D]=P[A]\cdot P[D/A]

Nosotros podemos resolverlo utilizando la segunda forma dado que desconocemos el valor de P[A/D] de la primera forma.

P[A\cap D]=P[A]\cdot P[D/A]=\dfrac{208}{520}\cdot\dfrac{75}{100}=\dfrac3{10}=0.3


c) Sabiendo que utiliza las duchas, la probabilidad de que la persona elegida al azar sea un niño es P[N/D].
Para este cálculo utilizamos el teorema de Bayes:

P[D]\cdot P[N/D]=P[N]\cdot P[D/N]

de donde

P[N/D]=\dfrac{P[N]\cdot P[D/N]}{P[D]}=\dfrac{\frac{220}{520}\cdot\frac15}{\frac{223}{520}}=\dfrac{220}{223\cdot5}=\dfrac{44}{223}\approx0.1973

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