Problema 536

El gasto que tienen los jóvenes durante un fin de semana es una variable aleatoria que sigue una distribución normal de media μ desconocida y desviación típica igual a 6 euros.

a) Se toma una muestra aleatoria simple y se obtiene que el intervalo de confianza al 95% para la media μ es (24.47,26.43). Calcule el valor de la media muestral y el tamaño de la muestra elegida.
b) Escogida otra muestra de tamaño 49 para estimar μ, calcule el error máximo cometido para esa estimación con un nivel de confianza del 97%.


Solución:

a) Tenemos el intervalo de confianza (24.47,26.43). Dado que el intervalo de confianza es

(\overline x-E,\overline x+E)

podemos obtener los valores tanto de la media muestral como del error resolviendo el sistema

\left\{\begin{array}{l}\overline x-E=24.47\\\overline x+E=26.43\end{array}\right.

sistema cuya solución es \overline x=25.45 y el error E=0.98.

Vamos ahora a calcular el tamaño de la muestra sabiendo que

E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n}

siendo para un nivel de confianza del 95% el valor z_{\alpha/2}=1.96 y σ=6.

\sqrt n=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{E}~;\\\\n=\left(z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{E}\right)^2=\left(1.96\cdot\dfrac6{0.98}\right)^2=144

El tamaño de la muestra ha de tener 144 jóvenes.


b) Para un nivel de confianza del 97% sabemos que z_{\alpha/2}=2.17. El error máximo cometido es de:

E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n}=2.17\cdot\dfrac6{\sqrt{49}}=1.86

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