Problema 536

Distribución de probabilidad CCSS, Selectividad Mat CCSS,

El gasto que tienen los jóvenes durante un fin de semana es una variable aleatoria que sigue una distribución normal de media μ desconocida y desviación típica igual a 6 euros.

a) Se toma una muestra aleatoria simple y se obtiene que el intervalo de confianza al 95% para la media μ es (24.47,26.43). Calcule el valor de la media muestral y el tamaño de la muestra elegida.
b) Escogida otra muestra de tamaño 49 para estimar μ, calcule el error máximo cometido para esa estimación con un nivel de confianza del 97%.

Solución:

a) Tenemos el intervalo de confianza (24.47,26.43). Dado que el intervalo de confianza es

(\overline x-E,\overline x+E)

podemos obtener los valores tanto de la media muestral como del error resolviendo el sistema

\left\{\begin{array}{l}\overline x-E=24.47\\\overline x+E=26.43\end{array}\right.

sistema cuya solución es \overline x=25.45 y el error E=0.98.

Vamos ahora a calcular el tamaño de la muestra sabiendo que

E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n}

siendo para un nivel de confianza del 95% el valor z_{\alpha/2}=1.96 y σ=6.

\sqrt n=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{E}~;\\\\n=\left(z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{E}\right)^2=\left(1.96\cdot\dfrac6{0.98}\right)^2=144

El tamaño de la muestra ha de tener 144 jóvenes.

b) Para un nivel de confianza del 97% sabemos que z_{\alpha/2}=2.17. El error máximo cometido es de:

E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n}=2.17\cdot\dfrac6{\sqrt{49}}=1.86

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