Problema 537

a) Resuelva el sistema de ecuaciones matriciales:

2A-5B=\begin{pmatrix}7&2\\7&8\end{pmatrix}\qquad 3A-B=\begin{pmatrix}4&3\\4&-1\end{pmatrix}

b) Dadas las matrices C=\begin{pmatrix}3&-2\\1&1\end{pmatrix}\text{ y }D=\begin{pmatrix}0&1\\-1&2\end{pmatrix}, resuelva la ecuación matricial XC-D^2=I_2


Solución:

a) Llamemos E=\begin{pmatrix}7&2\\7&8\end{pmatrix} y F=\begin{pmatrix}4&3\\4&-1\end{pmatrix}. Entonces, tenemos que resolver el siguiente sistema:

\left\{\begin{array}{l}2A-5B=E\\3A-B=F\end{array}\right.

Multiplicamos la segunda ecuación por -5:

\left\{\begin{array}{l}2A-5B=E\\-15A+5B=-5F\end{array}\right.

Sumando ambas ecuaciones obtenemos -13A=E-5F de donde

A=\dfrac1{-13}\left(\begin{pmatrix}7&2\\7&8\end{pmatrix}-5\begin{pmatrix}4&3\\4&-1\end{pmatrix}\right)=\dfrac{-1}{13}\begin{pmatrix}-13&-13\\-13&13\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}

Para calcular B despejamos en la ecuación 3A-B=F:

B=3A-F=3\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4&3\\4&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&0\\-1&-2\end{pmatrix}


b) De la ecuación propuesta despejamos X:

XC-D^2=I~;\\\\XC=I+D^2~;\\\\X=(I+D^2)C^{-1}

Calculamos D²:

D^2=\begin{pmatrix}0&1\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\-1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&2\\-2&3\end{pmatrix}

Y la inversa de C utilizando la fórmula:

C^{-1}=\dfrac1{|C|}(\text{Adj}C)^t

|C|=\begin{vmatrix}3&-2\\1&1\end{vmatrix}=3+2=5

\text{Adj}C=\begin{pmatrix}1&-1\\2&3\end{pmatrix}

C^{-1}=\dfrac15\cdot\begin{pmatrix}1&2\\-1&3\end{pmatrix}

Podemos calcular ya X:

X=(I+D^2)C^{-1}=\left(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1&2\\-2&3\end{pmatrix}\right)\cdot\dfrac15\cdot\begin{pmatrix}1&2\\-1&3\end{pmatrix}=\\\\=\dfrac15\begin{pmatrix}0&2\\-2&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\-1&3\end{pmatrix}=\dfrac15\begin{pmatrix}-2&6\\-6&8\end{pmatrix}

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