Problema 538

Se considera la función f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}ax+1&\text{si}&x\leq-1\\\\\dfrac x{x+2}&\text{si}&-1<x\leq0\\\\x^2-bx&\text{si}&x>0\end{array}\right.

a) Calcule a y b para que la función sea continua y derivable en x=-1 y x=0.
b) Para a=2 y b=-1/2 estudie su monotonía.


Solución:

a) Estudiamos la continuidad en x=-1:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow-1^+}\dfrac x{x+2}=-1\\\bullet~\lim_{x\rightarrow-1^-}ax+1=-a+1\\\bullet~f(-1)=-a+1

Para que f sea continua en x=-1 ha de ser –a+1=-1, de donde se tiene a=2.
Estudiamos ahora la continuidad en x=0:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow0^+}x^2-bx=0\\\bullet~\lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac x{x+2}=0\\\bullet~f(0)=\dfrac0{0+2}=0

Como los tres resultados son iguales, f es continua en x=0.

Para estudiar la derivabilidad, en primer lugar escribimos la derivada de f:

f'(x)=\left\{\begin{array}{ccc}a&\text{si}&x<-1\\\\\dfrac2{(x+2)^2}&\text{si}&-1<x<0\\\\2x-b&\text{si}&x>0\end{array}\right.

Estudiamos la derivabilidad en x=-1 siendo a=2, ya que para que una función sea derivable en un punto, ha de ser continua en el mismo:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow-1^+}\dfrac2{(x+2)^2}=2\\\bullet~\lim_{x\rightarrow-1^-}2=2

Luego f es derivable en x=-1 con a=2.
Estudiamos la derivabilidad en x=0:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow0^+}2x-b=-b\\\bullet~\lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac2{(x+2)^2}=\dfrac12

Para que f sea derivable en x=0 tiene que ser –b=1/2 de donde b=-1/2.


b) Para a=2 y b=-1/2 la función derivada es

f'(x)=\left\{\begin{array}{ccc}2&\text{si}&x<-1\\\\\dfrac2{(x+2)^2}&\text{si}&-1<x<0\\\\2x+\dfrac12&\text{si}&x>0\end{array}\right.

Calculamos los puntos críticos de f:

\bullet~2=0~!!!\\\\\bullet~\dfrac2{(x+2)^2}=0~!!!\\\\\bullet~2x+\dfrac12=0\rightarrow x=\dfrac{-1}4~!!!

El último punto crítico no es válido porque en ese trozo ha de ser x>0.

Como no hay ningún punto crítico, y f es continua y derivable en todo \mathbb R, entonces no hay cambio en la monotonía de f, es decir, la monotonía calculada en un punto cualquiera, por ejemplo x=1, es la que tendrá en todo el dominio:

f'(1)=2\cdot1+\dfrac12=\dfrac52>0

luego f crece en todo \mathbb R.

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