Problema 539

Una almazara recibe cajas de aceitunas de dos productoras, A y B, que cultivan dos variedades, picual y arbequina. El 40% proviene de la productora A, de las cuales el 60% es de la variedad picual. De las que provienen de la productora B, el 30% es de la variedad arbequina. Se elige una caja de aceitunas al azar.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea de la variedad picual?
b) Si se sabe que es de la variedad picual, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la productora A?
c) Calcule la probabilidad de que sea de la productora A o de la variedad picual.


Solución:

Con los datos aportados en el enunciado construimos el siguiente diagrama de árbol:

p539

donde A es el suceso «caja de aceitunas de la productora A«, B es el suceso «caja de aceitunas de la productora B«, P es el suceso «ser una caja de la variedad picual» y R es el suceso «ser una caja de la variedad arbequina».

a) Calculamos la probabilidad de que una caja escogida al azar sea de la variedad picual:

P[P]=P[A]\cdot P[P/A]+P[B]\cdot P[P/B]=0.4\cdot0.6+0.6\cdot0.7=0.66


b) Nos piden la probabilidad condicionada de que la caja sea de la productora A sabiendo que es de variedad picual, P[A/P].
Para calcular esta probabilidad utilizamos el teorema de Bayes:

\boxed{P[P]\cdot P[A/P]=P[A]\cdot P[P/A]}

de donde

P[A/P]=\dfrac{P[A]\cdot P[P/A]}{P[P]}=\dfrac{0.4\cdot0.6}{0.66}=0.3636


c) Probabilidad de que la caja elegida sea de la productora A o de variedad picual, P[A\cup P]:

P[A\cup P]=P[A]+P[P]-P[A\cap P]

pero

P[A\cap P]=P[A]\cdot P[P/A]=0.4\cdot0.6=0.24

luego

P[A\cup P]=0.4+0.66-0.24=0.82

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