Problema 541

Sean las matrices A=\begin{pmatrix}1&2\\0&-1\end{pmatrix}\text{ y }B=\begin{pmatrix}3&-1\\0&2\end{pmatrix}.

a) Calcule la matriz A²⁰¹⁷.
b) ¿Se verifica la expresión (B+A)\cdot(B-A)=B^2-A^2?


Solución:

a) Empezamos a calcular potencias de A:

A^2=A\cdot A=\begin{pmatrix}1&2\\0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\0&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I

Dado que A²=I, para calcular A²⁰¹⁷, hacemos la división \frac{2017}2 cuyo cociente es 1008 y resto 1, luego

A^{2017}=A^1=A=\begin{pmatrix}1&2\\0&-1\end{pmatrix}


b) El resultado del producto propuesto es:

(B+A)\cdot(B-A)=B^2-BA+AB-A^2

En el caso de que A y B conmuten, es decir AB=BA, sí se verifica (B+A)\cdot(B-A)=B^2-A^2, pero en caso de que no conmuten, no se verifica dicha igualdad.
Veamos si A y B conmutan:

AB=\begin{pmatrix}1&2\\0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&-1\\0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&3\\0&-2\end{pmatrix}\\\\BA=\begin{pmatrix}3&-1\\0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\0&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&7\\0&-2\end{pmatrix}

por lo que A y B no conmutan y (B+A)\cdot(B-A)=B^2-A^2 no se verifica.

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