Problema 542

Sea f(t) el porcentaje de ocupación de un determinado complejo hotelero en función del tiempo t, medido en meses, transcurrido desde su inauguración:

f(t)=\left\{\begin{array}{ccc}-\dfrac52t^2+20t&\text{si}&0\leq t\leq6\\\\\dfrac{90t-240}{t+4}&\text{si}&t>6\end{array}\right.

a) ¿Evoluciona la función f de forma continua?
b) ¿Cuál sería el porcentaje de ocupación al finalizar el segundo año?
c) ¿En qué momentos el porcentaje de ocupación sería del 40%?
d) ¿Llegaría en algún momento a estar completo en caso de que estuviese abierto indefinidamente?


Solución:

a) Ambas funciones son continuas en sus respectivos intervalos de definición por tratarse de una función polinómica y otra racional. Solo queda demostrar si la función f es continua en t=6:

\displaystyle\bullet~\lim_{t\rightarrow6^-}-\dfrac52t^2+20t=30\\\\\bullet~\lim_{t\rightarrow6^-}\dfrac{90t-240}{t+4}=30\\\\\bullet~f(6)=-\dfrac52\cdot6^2+20\cdot6=30

Por lo tanto, f evoluciona de forma continua para todo t≥0.


b) Al finalizar el segundo año significa que t=24. En este caso,

f(24)=\dfrac{90\cdot 24-240}{24+4}=68.57

es decir, que el porcentaje de ocupación será de 60.57%.


c) Calculamos t para el que f(t)=40. Lo probamos para cada uno de los trozos de la función f:

-\dfrac52t^2+20t=40~;\\\\-5t^2+40t=80

ecuación de segundo grado cuya solución es t=4.

\dfrac{90t-240}{t+4}=40~;\\\\90t-240=40t+160~;\\\\50t=400

ecuación de primer grado cuya solución es t=8.

Ambas soluciones son válidas pues están dentro de sus intervalos de definición. Luego, el complejo hotelero tendrá una ocupación del 40% en el 4º y en el 8º mes.


d) Veamos si en algún momento llega a estar el complejo al 100%. Lo calculamos en ambos trozos:

-\dfrac52t^2+20t=100~;\\\\-5t^2+40t=200

Esta ecuación de segundo grado no tiene solución, luego en el intervalo (0,6) no se alcanza el 100% de ocupación. Veamos en el segundo trozo:

\dfrac{90t-240}{t+4}=100~;\\\\90t-240=100t+400~;\\\\10t=-640

ecuación de primer grado cuya solución es t=-64 que está fuera del intervalo de definición de este trozo, t>6.

Luego, nunca se alcanza el 100% de ocupación.

Se puede demostrar cual es el valor máximo de la ocupación del complejo si éste estuviera abierto indefinidamente:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{90t-240}{t+4}=\dfrac{\infty}{\infty}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{90t}t=\lim_{x\rightarrow+\infty}90=90

La ocupación máxima sería del 90%.

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