Problema 545

Un distribuidor de software informático tiene en su cartera de clientes tanto a empresas como a particulares. Ha de conseguir al menos 25 empresas como clientes y el número de clientes particulares deberá ser como mínimo el doble que el de empresas. Por razones de eficiencia del servicio postventa, tiene estipulado un límite global de 120 clientes anuales. Cada empresa le produce 386€ de beneficio, mientras que cada particular le produce 229€. ¿Qué combinación de empresas y particulares le proporcionará el máximo beneficio? ¿A cuánto ascenderá ese beneficio?


Solución:

Sea x el número de clientes empresas e y el número de clientes particulares.
El distribuidor ha de conseguir al menos 25 clientes empresas:

x\geq25

y el número de clientes particulares deberá ser al menos el doble que el de empresas

y\geq2x

Por razones de eficiencia

x+y\leq120

Si a las tres restricciones anteriores añadimos las restricciones naturales, resulta el siguiente sistema de inecuaciones:

\left\{\begin{array}{l}x\geq25\\y\geq2x\\x+y\leq120\\x\geq0\\y\geq0\end{array}\right.

Escribimos las ecuaciones de las rectas en forma explícita, y las representamos:

p545

\left\{\begin{array}{l}x=25\\y=2x\\x+y=120\rightarrow y=120-x\\x=0\\y=0\end{array}\right.

La región sombreada es la región factible que verifica todas las inecuaciones.
Calculamos los vértices de la región factible resolviendo los sistemas de ecuaciones:

A=\left\{\begin{array}{l}x=25\\y=2x\end{array}\right.\rightarrow A=(25,50)\\B=\left\{\begin{array}{l}x=25\\x+y=120\end{array}\right.\rightarrow B=(25,95)\\C=\left\{\begin{array}{l}y=2x\\x+y=120\end{array}\right.\rightarrow C=(40,80)

La función beneficio es B(x,y)=386x+229y.
Calculamos los beneficios para cada vértice:

B(A)=B(25,50)=386\cdot25+229\cdot50=21100\\B(B)=B(25,95)=31405\\B(C)=B(40,80)=33760

Luego, el máximo beneficio se obtiene consiguiendo 40 empresas como clientes y 80 particulares. En ese caso el beneficio asciende a 33760 €.

 

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