Problema 546

a) Calcule la derivada de las siguientes funciones

f(x)=\dfrac{e^{5x}-x}{x^2-x}\qquad g(x)=(2x^2-x)^3\cdot\ln(x^3+2)

b) Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función h(x)=\dfrac1x en el punto de abscisa x=1.


Solución:

a) f(x)=\dfrac{e^{5x}-x}{x^2-x}

f'(x)=\dfrac{(5e^{5x}-1)(x^2-x)-(e^{5x}-x)(2x-1)}{(x^2-x)^2}=\\\\=\dfrac{5x^2e^{5x}-5xe^{5x}-x^2+x-2xe^{5x}+e^{5x}+2x^2-x}{(x^2-x)^2}=\\\\=\dfrac{e^{5x}(5x^2-7x+1)+x^2}{(x^2-x)^2}

g(x)=(2x^2-x)^3\cdot\ln(x^3+2)

g'(x)=3(2x^2-x)^2(4x-1)\cdot\ln(x^3+2)+(2x^2-x)^3\cdot\dfrac{3x^2}{x^3+2}=\\\\=(2x^2-x)^2\left(3(4x-1)\cdot\ln(x^3+2)+(2x^2-x)\cdot\dfrac{3x^2}{x^3+2}\right)


b) La ecuación de la recta tangente a una función h en el punto de tangencia x=x_0 es:

\boxed{y-h(x_0)=h'(x_0)(x-x_0)}

En nuestro caso x_0=1:

h(x)=\dfrac1x\rightarrow h(1)=\dfrac11=1\\\\h'(x)=\dfrac{-1}{x^2}\rightarrow h'(1)=\dfrac{-1}{1^1}=-1

luego, la recta tangente es

y-1=-1(x-1)\\y=-x+2

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