Problema 547

En una ciudad hay dos fábricas de pasta, F1 y F2, que producen dos tipos de productos, A y B, que venden a un distribuidor en paquetes de 1 kg. En un mes, la fábrica F1 produce 20000 kg de pasta, de los que 12000 son del tipo A y la fábrica F2 produce 25000 kg de pasta de los que 15000 kg son del tipo A. Se escoge al azar un paquete del distribuidor.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea del tipo B?
b) Si el paquete elegido resulta ser del tipo A, ¿qué es más probable, que proceda de la fábrica F1 o que proceda de la F2?


Solución:

A partir de los datos aportados en el enunciado construimos el siguiente diagrama de árbol:

p547

a) La probabilidad de que un paquete escogido al azar sea del tipo B es:

P[B]=P[F1]\cdot P[B/F1]+P[F2]\cdot P[B/F2]=\\\\=\dfrac{20000}{45000}\dfrac{8000}{20000}+\dfrac{25000}{45000}\dfrac{10000}{25000}=0.4


b) Para calcular estas probabilidades condicionadas utilizamos el teorema de Bayes:

\boxed{P[A]\cdot P[B/A]=P[B]\cdot P[A/B]}

Con esta fórmula, primero calculamos la probabilidad de que el paquete proceda de la fábrica F1 sabiendo que es del tipo A:

P[F1/A]=\dfrac{P[F1]\cdot P[A/F1]}{P[A]}

Dado que P[A]+P[B]=1 dado que A y B son sucesos contrarios, entonces

P[A]=1-0.4=0.6

luego

P[F1/A]=\dfrac{\frac{20000}{45000}\cdot\frac{12000}{20000}}{0.6}=0.444

Ahora calculamos la probabilidad de que el paquete proceda de la fábrica F2 sabiendo que es del tipo A:

P[F2/A]=\dfrac{P[F2]\cdot P[A/F2]}{P[A]}=\dfrac{\frac{25000}{45000}\cdot\frac{15000}{25000}}{0.6}=0.555

Si el paquete elegido es del tipo A es más probable que proceda de la fábrica F2.

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