Problema 548

La puntuación obtenida por los participantes en una prueba es una variable aleatoria que sigue una distribución Normal con una desviación típica de 6 puntos. Se toma una muestra aleatoria de 64 participantes en esa prueba, resultando una puntuación media de 35 puntos.

a) Calcule el intervalo de confianza, al 95%, para la calificación media del total de participantes en la citada prueba.
b) Halle el tamaño mínimo de la muestra necesaria para estimar la puntuación media del total de participantes, con un error inferior a 0.5 puntos y un nivel de confianza del 99%.


Solución:

a) El intervalo de confianza tiene la forma:

(\overline x-E,\overline x+E)

Siendo el error E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n}, σ=6, n=64, \overline x=35 y z_{\alpha/2}=1.96 para un nivel de confianza del 95%. Luego:

E=1.96\cdot\dfrac6{\sqrt{64}}=1.47

y el intervalo de confianza es:

(35-1.47,35+1.47)=(33.53,36.47)


b) De la fórmula del error obtenemos n:

E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\\\\\sqrt n=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}E\\\\n=\left(z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}E\right)^2

siendo E=0.5 y z_{\alpha/2}=2.575 para un nivel de confianza del 99%, luego:

n=\left(2.575\cdot\dfrac6{0.5}\right)^2=954.8

Es decir, la muestra tiene que tener al menos 955 participantes.

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