Problema 549

Sean las matrices A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\end{pmatrix} y B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\1&1\end{pmatrix}.

a) Justifique cuáles de las siguientes operaciones pueden realizarse y, en tal caso, calcule el resultado:

A^2\qquad A-B\qquad A\cdot B\qquad A\cdot B^t

b) Halle la matriz X tal que A^t+BX=3B.


Solución:

a) Recordemos que dos matrices se pueden sumar o restar si tienen las mismas dimensiones.
Como A es una matriz 2×3 y B es una matriz 3×2, entonces no se puede realizar la operación AB.

También recordamos que para poder multiplicar dos matrices, el número de columnas de la primera matriz ha de ser igual que el número de filas de la segunda matriz.

  • A^2=A_{2\times3}\cdot A_{2\times3} y por tanto, no se puede hacer esta multiplicación.
  • A_{2\times3}\cdot B_{3\times2} de modo que sí se puede hacer esta multiplicación.
  • A_{2\times3}\cdot B^t_{2\times3} no se puede hacer.

Calculamos el resultado de la única operación que sí se puede hacer:

AB=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}


b) Sabemos que:

A^t+BX=3B\\\\BX=3B-A^t=\begin{pmatrix}0&3\\3&0\\3&3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&3\\3&-1\\2&2\end{pmatrix}

Es decir, BX da como resultado una matriz 3×2, luego X ha de ser una matriz 2×2, ya que el resultado de un producto de matrices es otra matriz con el número de filas de la primera y el número de columnas de la segunda.
Definimos X=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}, entonces

BX=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c&d\\a&b\\a+c&b+d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&3\\3&-1\\2&2\end{pmatrix}

de donde se deduce que: c=-1, d=3, a=3 y b=-1. Luego la matriz X=\begin{pmatrix}3&-1\\-1&3\end{pmatrix}

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