Problema 550

Sea la función f(x)=x^3+ax^2+bx.

a) Halle a y b sabiendo que la función tiene un mínimo en el punto de abscisa x=-1 y un punto de inflexión en el punto de abscisa x=-2.
b) Para a=6 y b=9, halle los puntos de corte con los ejes, estudie la monotonía y extremos y esboce la gráfica de la función.


Solución:

a) La función tiene un mínimo en x=-1, luego f'(-1)=0, y además tiene un punto de inflexión en x=-2, luego f''(-2)=0.
Utilizamos estas dos ecuaciones para calcular a y b:

f'(x)=3x^2+2ax+b\rightarrow f'(-1)=3-2a+b=0\rightarrow\boxed{2a-b=3}\\\\f''(x)=6x+2a\rightarrow f''(-2)=-12+2a=0\rightarrow\boxed{2a=12}

La solución del sistema de ecuaciones formada por estas dos ecuaciones es a=6, b=9.


b) Tenemos la función f(x)=x^3+6x^2+9x.
Calculamos los puntos de corte con los ejes:

  • Punto de corte con el eje x: y=0
    0=x^3+6x^2+9x\rightarrow x=0,\,x=-3
    (0,0), (-3,0)
  • Punto de corte con el eje y: x=0
    y=0^3+6\cdot0^2+9\cdot0=0
    (0,0)

Para estudiar la monotonía, primero calculamos los puntos críticos de f:

f'(x)=3x^2+12x+9=0~;\\\\x^2+4x+3=0\rightarrow x=-3,\,x=-1

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,-3)&(-3,-1)&(-1,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-&+\\\hline \mbox{Monotonia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

  • Crece: (-∞,-3)∪(-1,+∞)
  • Decrece: (-3,-1)

Presenta un máximo en x=-3, en el punto (-3,0)
Presenta un mínimo en x=-1, en el punto (-1,-4)

Con todos estos datos podemos hacer un esbozo de la gráfica de la función semejante a la siguiente figura:

p550

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