Problema 551

Supongamos que el 20% de los votantes de Trump apoya la construcción del muro en la frontera con México y que solo el 5% de los que no lo votaron la apoya. En un grupo formado por 5000 votantes de Trump y 10000 estadounidenses que no lo votaron se elige una persona al azar.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que ésta apoye la construcción del muro?
b) Si la persona elegida apoya la construcción del muro, ¿cuál es la probabilidad de que no haya votado a Trump?
c) Calcule la probabilidad de que sea votante de Trump o apoye la construcción del muro.


Solución:

a) Con los datos aportados en el enunciado construimos el siguiente diagrama de árbolp551donde V es el suceso “haber votado a Trump” y A es el suceso “apoyar la construcción del muro”.

a) La probabilidad de que una persona elegida al azar apoye la construcción del muro es:

P[A]=P[V]\cdot P[A/V]+P[\overline V]\cdot P[A/\overline V]=\\\\=\dfrac{5000}{15000}\cdot0.2+\dfrac{10000}{15000}\cdot0.05=0.1


b) Nos piden la probabilidad de que la persona elegida al azar no haya votado a Trump sabiendo que apoya la construcción del muro, es decir, P[\overline V/A].
Para hacer este cálculo necesitamos utilizar el teorema de Bayes:

P[\overline V/A]=\dfrac{P[\overline V]\cdot P[A/\overline V]}{P[A]}

luego

P[\overline V/A]=\dfrac{\frac{10000}{15000}\cdot0.05}{0.1}=\dfrac13\approx0.333


c) Probabilidad de que haya votado a Trump o apoye la construcción del muro, P[V\cup A]:

P[V\cup A]=P[V]+P[A]-P[V\cap A]

Sabiendo que

P[V\cap A]=P[V]\cdot P[A/V]=\frac{5000}{15000}\cdot0.2=\dfrac1{15}

entonces:

P[V\cup A]=\dfrac{5000}{15000}+0.1-\dfrac1{15}=\dfrac{11}{30}\approx0.367

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