Problema 552

El tiempo de vida de una determinada especie de tortuga es una variable aleatoria que sigue una ley Normal de desviación típica 10 años. Se toma una muestra aleatoria simple de 10 tortugas y se obtienen los siguientes valores:

46, 38, 59, 29, 34, 32, 38, 21, 44, 34

a) Determina un intervalo de confianza, al 95%, para la vida media de dicha especie de tortugas.
b) Calcula el tamaño mínimo que debe tener una muestra para que el error de estimación de la vida media no sea superior a 5 años, con un nivel de confianza del 98%.


Solución:

a) La media de todos esos valores es:

\overline x=\dfrac{\sum x_i}n=\dfrac{375}{10}=37.5

y el intervalo de confianza

(\overline x-E,\overline x+E)

siendo el error E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac\sigma{\sqrt n}, σ=10, n=10 y z_{\alpha/2}=1.96 para un nivel de confianza del 95%.
Sustituyendo

E=1.96\cdot\dfrac{10}{\sqrt{10}}=6.2

Luego el intervalo de confianza es:

(37.5-6.2,37.5+6.2)=(31.3,43.7)


b) Para calcular el tamaño de la muestra utilizamos la fórmula del error:

E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac\sigma{\sqrt n}~;\\\\\sqrt n=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac\sigma E~;\\\\n=\left(z_{\alpha/2}\cdot\dfrac\sigma E\right)^2

siendo E=5, σ=10 y z_{\alpha/2}=2.325 para un nivel de confianza del 98%, luego:

n=\left(2.325\cdot\dfrac{10}5\right)^2=21.6

Tendríamos que tomar una muestra de 22 individuos como mínimo

♦.

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