Problema 553

a) Represente el recinto definido por las siguientes inecuaciones:

x+y\leq3\qquad2x+y\geq4\qquad y\geq-1

b) Razone si el punto (2,1) pertenece al recinto anterior.
c) Obtenga los vértices del recinto y los valores mínimo y máximo de la función F(x,y)=5x+4y en ese recinto, indicando en qué puntos se alcanzan.
d) Razone si la función F puede alcanzar el valor 9 en el recinto anterior.


Solución:

a) Escribimos las inecuaciones en forma de ecuación explícita para representar las rectas:

x+y=3\rightarrow y=3-x\\2x+y=4\rightarrow y=4-2x\\y=-1p553


b) El punto (2,1) pertenece al recinto anterior si verifica cada una de las inecuaciones:

  • x+y\leq3~;2+1\leq3 ✔️
  • 2x+y\geq4~;2\cdot2+1\geq4 ✔️
  • y\geq-1~;1\geq-1 ✔️

luego, el punto (2,1) pertenece al recinto.


c) Para obtener los vértices del recinto anterior resolvemos los siguientes sistemas de ecuaciones:

A=\left\{\begin{array}{l}2x+y=4\\x+y=3\end{array}\right.\rightarrow A=(1,2)\\B=\left\{\begin{array}{l}y=-1\\x+y=3\end{array}\right.\rightarrow B=(4,-1)\\C=\left\{\begin{array}{l}y=-1\\2x+y=4\end{array}\right.\rightarrow C=(\frac52,-1)

Evaluamos la función F(x,y)=5x+4y en cada uno de los vértices:

F(A)=F(1,2)=5\cdot1+4\cdot2=13\\\\F(B)=F(4,-1)=16\\\\F(C)=F(\frac52,-1)=8.5

luego, el valor máximo de F es 16 y se obtiene en el vértice B y el valor mínimo de F es 8.5 y se obtiene en el vértice C.


d) Dado que los valores máximo y mínimo de F en la región factible son 16 y 8.5, hay puntos en dicha región que toman valores entre los dos mencionados, en particular, hay puntos de la región donde F toma el valor 9.

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s