Problema 554

Se consideran las siguientes funciones f(x)=\dfrac{5x-16}x y g(x)=x^2.

a) Determine la abscisa del punto donde se verifique que f'(x)=g'(x).
b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de cada función en el punto de abscisa x=2 y determine el punto de corte de ambas rectas tangentes, si existe.


Solución:

a) Calculamos las derivadas

f'(x)=\dfrac{5x-(5x-16)}{x^2}=\dfrac{16}{x^2}\\\\g'(x)=2x

Igualamos ambas expresiones y resolvemos:

\dfrac{16}{x^2}=2x~;\\\\16=2x^3~;\\\\x^3=8~;\\\\x=2


b) La ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función f en un punto de abscisa x=x_0 es:

\boxed{y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)}

La recta tangente a f en x_0=2 es:

f(2)=-3\\f'(2)=4\\\\y-(-3)=4(x-2)~;\\y=4x-11

La recta tangente a g en x_0=2 es:

g(2)=4\\g'(2)=4\\\\y-4=4(x-2)~;\\y=4x-4

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