Problema 555

Una urna contiene 5 bolas rojas y 3 verdes. Se extrae una bola y se reemplaza por 2 bolas de otro color. A continuación se extrae una segunda bola.

a) Calcula la probabilidad de que la segunda bola extraída sea verde.
b) Halle la probabilidad de que la primera haya sido roja, sabiendo que la segunda también ha sido roja.


Solución:

A partir de los datos aportados en el enunciado dibujamos el siguiente diagrama de árbol:

p555

siendo R1 el suceso “sacar roja en la primera extracción”, V1 el suceso “sacar verde en la primera extracción”, R2 el suceso “sacar roja en la segunda extracción y V2 el suceso “sacar verde en la segunda extracción”.

a) La probabilidad de que la segunda bola extraída sea verde es:

P[V2]=P[R1]\cdot P[V2/R1]+P[V1]\cdot P[V2/V1]=\\\\=\dfrac58\cdot\dfrac59+\dfrac38\cdot\dfrac29=\dfrac{25+6}{72}=\dfrac{31}{72}=0.43


b) Para calcular la probabilidad de que la primera haya sido roja sabiendo que la segunda lo ha sido, P[R1/R2], utilizamos el teorema de Bayes:

P[R1/R2]=\dfrac{P[R1]\cdot P[R2/R1]}{P[R2]}

Sabemos que

P[R2]=1-P[V2]=1-\dfrac{31}{72}=\dfrac{41}{72}

luego

P[R1/R2]=\dfrac{\frac58\cdot\frac49}{\frac{41}{72}}=\dfrac{20}{41}\approx0.569

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