Problema 556

En una muestra, elegida al azar, de 100 estudiantes de una Universidad, se ha observado que 25 desayunan en la cafetería del campus.

a) Determine, con un nivel de confianza del 95%, un intervalo de confianza para estimar la proporción de estudiantes de esa Universidad que desayunan en la cafetería.
b) Si la proporción de estudiantes de esa Universidad que desayunan en la cafetería del campus en una muestra aleatoria es de 0.2, y el error cometido en la estimación ha sido inferior a 0.03, con un nivel de confianza del 92.5% calcule el tamaño mínimo de la muestra.


Solución:

a) El intervalo de confianza para la proporción es:

(p-E,p+E)

siendo p la proporción de estudiantes que desayuna en la cafetería: p=\dfrac{25}{100}=0.25
El error es E=z_{\alpha/2}\cdot\sqrt{\dfrac{p(1-p)}n} con n=100 y z_{\alpha/2}=1.96 para un nivel de confianza del 95%. El error es, por tanto:

E=1.96\cdot\sqrt{\dfrac{0.25\cdot(1-0.25)}{100}}=0.0849

y el intervalo de confianza es:

(0.25-0.0849,0.25+0.0849)=(0.1651,0.3349)


b) Para un nivel de confianza del 92.5%, el valor de z_{\alpha/2} es 1.78 (ver la tabla).

A partir de la fórmula del error obtenemos el tamaño que ha de tener la muestra:

E=z_{\alpha/2}\cdot\sqrt{\dfrac{p(1-p)}n}~;\\\\E^2=z_{\alpha/2}^2\cdot\dfrac{p(1-p)}n~;\\\\n=z_{\alpha/2}^2\cdot\dfrac{p(1-p)}{E^2}

Con p=0.2 y E=0.03, el tamaño de la muestra es:

n=1.78^2\cdot\dfrac{0.2(1-0.2)}{0.03^2}=563.3

Hay que tomar una muestra de al menos 564 estudiantes.

 

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