Problema 557

Una empresa envasa y comercializa leche entera y leche desnatada. El litro de leche entera envasado genera un beneficio diario a la empresa de 0.4 € y el de leche desnatada de 0.1 €. La tecnología de la empresa impone que el número de litros de leche entera que se envasan diariamente no supere el doble del número de litros de leche desnatada. Además, la cantidad máxima de leche que se puede envasar diariamente es un total de 3000 litros y solo se dispone de 1200 litros diarios de leche entera para envasar.
¿Cuánto debe envasar de cada producto para obtener el beneficio máximo? ¿A cuánto ascendería este beneficio?


Solución:

Sea x el número de litros de leche entera a envasar e y el número de litros de leche desnatada a envasar.
Sabemos que el número de litros de leche entera no debe superar al doble del número de litros de leche desnatada, es decir:

x\leq2y

Sabemos que la cantidad de leche no puede superar los 3000 litros:

x+y\leq3000

Y que se disponen de un máximo de 1200 litros de leche entera:

x\leq1200

Estas restricciones junto con las restricciones naturales forman el siguiente sistema de inecuaciones:

\left\{\begin{array}{l}x\leq2y\\x+y\leq3000\\x\leq1200\\x\geq0\\y\geq0\end{array}\right.

Escribimos las ecuaciones de las rectas en forma explícita y las representamos:

\left\{\begin{array}{l}x=2y\\x+y=3000\rightarrow y=3000-x\\x=1200\\x=0\\y=0\end{array}\right.

p557

La región factible define 4 vértices que calculamos resolviendo los siguientes sistemas de ecuaciones:

A=\left\{\begin{array}{l}x=0\\y=3000-x\end{array}\right.\rightarrow A=(0,3000)\\B=\left\{\begin{array}{l}x=1200\\y=3000-x\end{array}\right.\rightarrow B=(1200,1800)\\C=\left\{\begin{array}{l}x=1200\\x=2y\end{array}\right.\rightarrow C=(1200,600)\\D=\left\{\begin{array}{l}x=0\\x=2y\end{array}\right.\rightarrow D=(0,0)

La función beneficio es B(x,y)=0.4x+0.1y. El máximo beneficio se dará para uno de los vértices. Evaluamos la función beneficio en todos los vértices:

B(A)=B(0,3000)=0.4\cdot0+0.1\cdot3000=300\\B(B)=B(1200,1800)=660\\B(C)=B(1200,600)=540\\B(D)=B(0,0)=0

Por lo que el máximo beneficio se obtiene produciendo 1200 litros de leche entera y 1800 litros de leche desnatada. El beneficio en ese caso asciende a 660€.

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