Problema 558

En una especie animal la contracción del iris, en décimas de milímetro, después de exponer el ojo a una luz brillante durante un determinado tiempo, viene dada por

f(t)=\left\{\begin{array}{ccc}t^2&\mbox{si}&0\leq t\leq2\\\\\dfrac4{t-1}&\mbox{si}&t>2\end{array}\right.

donde t es el tiempo, en segundos, que transcurre desde que se concentra la luz en el ojo.

a) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función f.
b) Represente gráficamente la función f, determinando los intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus asíntotas, en caso de que existan.
c) Determine en qué instante se obtiene la máxima contracción y su valor.


Solución:

a) Estudiamos la continuidad en t=2:

\displaystyle\bullet~\lim_{t\rightarrow2^+}\dfrac4{t-1}=4\\\bullet~\lim_{t\rightarrow2^-}t^2=4\\\bullet~f(2)=\dfrac4{2-1}=4

Por lo que f es continua en t=2.

Calculamos la función derivada de f:

f'(t)=\left\{\begin{array}{ccc}2t&\mbox{si}&0<t<2\\\\\dfrac{-4}{(t-1)^2}&\mbox{si}&t>2\end{array}\right.

Estudiamos ahora la derivabilidad en t=2:

\displaystyle\bullet~f'(2^+)=\lim_{x\rightarrow2^+}\dfrac{-4}{(t-1)^2}=-4\\\bullet~f'(2^-)=\lim_{x\rightarrow2^-}2t=4

luego f no es derivable en t=2.


b) Esta función a trozos tiene dos partes. La primera es una parábola convexa y=t^2 cuyo vértice es el (0,0) y para t=2, y=4.
El segundo trozo y=\dfrac4{t-1} es una función de proporcionalidad inversa cuya gráfica es una hipérbola, que ocupa primer y tercer cuadrantes, con asíntota vertical t=1 y asíntota horizontal:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac4{t-1}=0

 y=0. Además, la hipérbola pasa por el punto (2,4).

Para estudiar la monotonía, comenzamos calculando los puntos críticos de f:

2t=0\rightarrow t=0\\\\\dfrac{-4}{(t-1)^2}=0\rightarrow -4=0!!!

Luego el único punto crítico es t=0.
Teniendo en cuenta éste punto crítico y el dominio estudiamos la monotonía de f:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline t&(0,2)&(2,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(t)&+&-\\\hline \mbox{Monotonia }f(t)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}

Con todos los datos aportados, el esbozo de la gráfica es semejante a

p558


c) Según el estudio de la monotonía, obtenemos el máximo en la contracción del iris para t=2 segundos, siendo su valor de 4 décimas de milímetro.

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