En una especie animal la contracción del iris, en décimas de milímetro, después de exponer el ojo a una luz brillante durante un determinado tiempo, viene dada por

donde t es el tiempo, en segundos, que transcurre desde que se concentra la luz en el ojo.

a) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función f.
b) Represente gráficamente la función f, determinando los intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus asíntotas, en caso de que existan.
c) Determine en qué instante se obtiene la máxima contracción y su valor.

Solución:

a) Estudiamos la continuidad en t=2:

Por lo que f es continua en t=2.

Calculamos la función derivada de f:

Estudiamos ahora la derivabilidad en t=2:

luego f no es derivable en t=2.

b) Esta función a trozos tiene dos partes. La primera es una parábola convexa cuyo vértice es el (0,0) y para t=2, y=4.
El segundo trozo es una función de proporcionalidad inversa cuya gráfica es una hipérbola, que ocupa primer y tercer cuadrantes, con asíntota vertical t=1 y asíntota horizontal:

 y=0. Además, la hipérbola pasa por el punto (2,4).

Para estudiar la monotonía, comenzamos calculando los puntos críticos de f:

Luego el único punto crítico es t=0.
Teniendo en cuenta éste punto crítico y el dominio estudiamos la monotonía de f:

Con todos los datos aportados, el esbozo de la gráfica es semejante a

c) Según el estudio de la monotonía, obtenemos el máximo en la contracción del iris para t=2 segundos, siendo su valor de 4 décimas de milímetro.

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