Problema 560

Se desea estimar la proporción de jóvenes que ven una serie de televisión. Para ello, se toma una muestra aleatoria de 100 jóvenes, de los que 36 ven la serie.

a) Determine un intervalo de confianza, al 96%, para la proporción de jóvenes que ven la serie.
b) Con el mismo nivel de confianza, si queremos que el error máximo sea inferior a 0.03, ¿qué tamaño muestral mínimo debemos tomar?


Solución:

a) El intervalo de confianza para la proporción es:

(p-E,p+E)

siendo p la proporción de jóvenes que ven la serie p=\dfrac{36}{100}=0.36, y el error

E=z_{\alpha/2}\cdot\sqrt{\dfrac{p\cdot(1-p)}n}

donde z_{\alpha/2}=2.054 para un nivel de confianza del 96%, y n=100. Por tanto:

E=2.054\cdot\sqrt{\dfrac{0.36\cdot(1-0.36)}{100}}=0.0986

y el intervalo de confianza es:

(0.36-0.0986,0.36+0.0986)=(0.2614,0.4586)


b) Con la fórmula del error obtenemos el tamaño de la muestra n:

E=z_{\alpha/2}\cdot\sqrt{\dfrac{p\cdot(1-p)}n}~;\\\\E^2=z_{\alpha/2}^2\cdot\dfrac{p\cdot(1-p)}n~;\\\\n=z_{\alpha/2}^2\cdot\dfrac{p\cdot(1-p)}{E^2}

luego

n=2.054^2\cdot\dfrac{0.36\cdot(1-0.36)}{0.03^2}=1080.04

La muestra debe tener al menos 1081 jóvenes.

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