Problema 561

Sean las matrices

A=\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&1&-1\end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\2&-2\end{pmatrix}\qquad C=\begin{pmatrix}1&1\\3&-2\end{pmatrix}

a) Razone cuáles de las siguientes operaciones son posibles:

A\cdot B^t\quad B+3C\quad C\cdot B^t\quad A\cdot B+C

b) Resuelva la ecuación matricial ABX=C.


Solución:

a) Recordamos que para poder sumar matrices, ambas matrices han de tener las mismas dimensiones. Para poder multiplicar matrices, el número de columnas de la primera matriz ha de ser igual que el número de filas de la segunda matriz. Luego

  • A_{2\times3}\cdot B^t_{2\times3} no se puede realizar.
  • B_{3\times2}+3C_{2\times2} no se puede realizar.
  • C_{2\times2}\cdot B^t_{2\times3} sí se puede realizar.
  • A_{2\times3}\cdot B_{3\times2}+C_{2\times2} sí se puede realizar.

b) En primer lugar despejamos la matriz X:

ABX=C~;\\\\X=(AB)^{-1}C

Calculamos la inversa de AB utilizando la fórmula

(AB)^{-1}=\dfrac1{|AB|}(\mbox{Adj}(AB))^t

AB=\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\2&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1\\-2&3\end{pmatrix}

|AB|=\begin{vmatrix}1&-1\\-2&3\end{vmatrix}=3-2=1

\mbox{Adj}(AB)=\begin{pmatrix}3&2\\1&1\end{pmatrix}

luego:

(AB)^{-1}=\dfrac11\cdot\begin{pmatrix}3&2\\1&1\end{pmatrix}^t=\begin{pmatrix}3&1\\2&1\end{pmatrix}

Entonces, la matriz X es:

X=(AB)^{-1}C=\begin{pmatrix}3&1\\2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\3&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&1\\5&0\end{pmatrix}

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