Problema 562

Sea la función f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac1{x-4}&\mbox{si}&x\leq0\\x+3&\mbox{si}&0<x<2\\x^2+1&\mbox{si}&x\geq2\end{array}\right.

a) Estudie la continuidad de la función en su dominio y clasifique sus discontinuidades, en caso de que exista alguna.
b) Estudie la derivabilidad de la función en su dominio.


Solución:

a) El dominio de f es todo \mathbb R. Donde tenemos que estudiar la continuidad de f es en x=0 y en x=2:

Continuidad en x=0:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow0^+}x+3=3\\\bullet~\lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac1{x-4}=\dfrac1{-4}\\\bullet~f(0)=\dfrac1{0-4}=\dfrac1{-4}

Luego, f no es continua en x=0, y presenta una discontinuidad de salto finito.

Continuidad en x=2:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow2^+}x^2+1=5\\\bullet~\lim_{x\rightarrow2^-}x+3=5\\\bullet~f(2)=2^2+1=5

Luego, f es continua en x=2.


b) Para estudiar la derivabilidad de f comenzamos calculando la derivada de f:

f'(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac{-1}{(x-4)^2}&\mbox{si}&x<0\\1&\mbox{si}&0<x<2\\2x&\mbox{si}&x>2\end{array}\right.

La función f no es derivable en x=0 porque f no es continua en ese punto.
Estudiemos la derivabilidad en x=2:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow2^+}2x=4\\\bullet~\lim_{x\rightarrow2^-}1=1

luego, f no es derivable en x=2.

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