Problema 565

Sean las matrices

A=\begin{pmatrix}2&1\\0&-1\end{pmatrix}\quad B=\begin{pmatrix}1&-1\\2&0\end{pmatrix}\quad C=\begin{pmatrix}-2&4\\1&-1\end{pmatrix}\quad D=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}

a) Razone si se pueden efectuar las siguientes operaciones

AD+BC\qquad D^tB-A^2

b) Halle la matriz X que verifica la ecuación matricial AX=B-C.


Solución:

a) Recordemos que para poder sumar o restar dos matrices, éstas deben tener las mismas dimensiones. Para poder multiplicar dos matrices, el número de columnas de la primera matriz ha de ser igual que el número de filas de la segunda matriz, y el resultado es una matriz con el número de filas de la primera matriz y el número de columnas de la segunda matriz.
Entonces:

  • A_{2\times2}D_{2\times3}+B_{2\times2}C_{2\times2}
    No se puede realizar ya que AD resulta una matriz 2×3 mientras BC resulta una matriz 2×2, las cuales no se pueden sumar.
  • D_{3\times2}^tB_{2\times2}-A_{2\times2}^2
    Tampoco se puede realizar ya que D^tB resulta una matriz 3×2 mientras que A² es una matriz 2×2, que no se pueden restar.

b) Primero calculamos las dimensiones de la matriz X:

A_{2\times2}X_{m\times n}=B_{2\times2}-C_{2\times2}

de donde ha de ser m=2 y n=2, luego X=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}.

Entonces:

\begin{pmatrix}2&1\\0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1\\2&0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2&4\\1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-5\\1&1\end{pmatrix}

de donde se obtiene el siguiente sistema:

\left\{\begin{array}{l}2a+c=3\\2b+d=-5\\-c=1\\-d=1\end{array}\right.

sistema cuya solución es c=-1, d=-1, a=2, b=-2. Luego, la matriz X es:

X=\begin{pmatrix}2&-2\\-1&-1\end{pmatrix}

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