Problema 566

Sea la función f(x)=x^3-12x+1.

a) Estudie su monotonía y determine sus extremos relativos.
b) Obtenga la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x=1.


Solución:

a) Para estudiar la monotonía de f comenzamos calculando sus puntos críticos:

f'(x)=3x^2-12=0~;\\\\3x^2=12~;\\\\x^2=4~;\\\\x=\pm2

Con los puntos críticos y teniendo en cuenta el dominio \mathbb R, construimos la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,-2)&(-2,2)&(2,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-&+\\\hline \mbox{Monotonia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

  • Crece en (-∞,-2)∪(2,+∞)
  • Decrece en (-2,2)

Hay un máximo relativo en x=-2, y=17, y un mínimo relativo en x=2, y=-15.


b) La ecuación de la recta tangente a f en un punto de abscisa x=x_0 es:

\boxed{y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)}

En nuestro x_0=1:

f(1)=-10\\\\f'(1)=-9

Sustituyendo en la ecuación de la recta tangente:

y-(-10)=-9\cdot(x-1)~;\\\\y=-9x+9-10~;\\\\y=-9x-1

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