Problema 567

De los sucesos A y B se sabe que P[A]=0.6,~P[B/A]=0.8,~P[B/\overline A]=0.1

a) Calcule las probabilidades P[B],~P[A\cap B],~P[A\cup B].
b) ¿Son los sucesos A y B independientes?


Solución:

a) Calculamos P[A\cap B]. Dado que

P[B/A]=\dfrac{P[A\cap B]}{P[A]}

entonces

P[A\cap B]=P[B/A]\cdot P[A]=0.8\cdot0.6=0.48

Cálculo de P[B]. Dado que

P[B/\overline A]=\dfrac{P[B\cap\overline A]}{P[\overline A]}=\dfrac{P[B]-P[B\cap A]}{1-P[A]}

entonces:

P[B/\overline A]=\dfrac{P[B]-P[B\cap A]}{1-P[A]}~;\\\\(1-P[A])P[B/\overline A]=P[B]-P[B\cap A]~;\\\\P[B]=(1-P[A])P[B/\overline A]+P[B\cap A]=\\\\=(1-0.6)\cdot0.1+0.48=0.52

Cálculo de P[A\cup B].

P[A\cup B]=P[A]+P[B]-P[A\cap B]=0.6+0.52-0.48=0.64


b) Dos sucesos A y B son independientes si

P[A\cap B]=P[A]\cdot P[B]

P[A\cap B]=0.48\\\\P[A]\cdot P[B]=0.6\cdot0.52=0.312

luego, A y B no son sucesos independientes.

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